初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法精品第3课时教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法精品第3课时教案及反思，共5页。
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程和根的判别式．
2.能运用公式法求解数字系数的一元二次方程，并能正确进行根的判别式的应用．
3.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，培养学生的代数推理能力和运算能力，体会由特殊到一般和由一般到特殊以及降次化归的思想．
重点：用公式法解一元二次方程．
难点：推导一元二次方程求根公式的过程．
知识链接
用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？如何用配方法解方程2x2＋4x＋1=0？
探究点一：用公式法解一元二次方程
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．你能用配方法解方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）吗？
方程两边都除以a，得x2＋bax＋ca=0.
配方，得x2＋bax＋（b2a）2－（b2a）2＋ca=0.（x＋b2a）2－b2－4ac4a2=0.
移项，得（x＋b2a）2=b2－4ac4a2．
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
要先确定b2－4ac≥0，才能直接开平方，否则方程无解．当b2－4ac≥0时，x＋b2a=±b2－4ac2a．∴x=－b±b2－4ac2a．即x1=－b＋b2－4ac2a，x2=－b－b2－4ac2a．
概念引入：上面这个式子x=－b±b2－4ac2a称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
例1（教材P42例3）归纳总结：公式法解一元二次方程的一般步骤：
①变形：化已知方程为一般形式ax2＋bx＋c=0；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；③计算：b2－4ac的值；④判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式得解；⑤若b2－4ac＜0，则方程没有实数根．
探究点二：一元二次方程根的判别式
问题2：你能解一元二次方程x2－2x＋3=0吗？你是怎么想的？
配方（x－1）2=－2，原方程无实数根．
问题3：对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），当b2－4ac＜0时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流．
当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
概念引入：一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式．通常用希腊字母“Δ”表示．
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根．
填一填：
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（B）
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0
C．k＜1 D．k＜1且k≠0
不解方程，判断下列方程根的情况．
（1）3x2＋4x－3=0； （2）7y=5（y2＋1）．
解：（1）3x2＋4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=16－4×3×（－3）=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为5y2－7y＋5=0，∴b2－4ac=（－7）2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．
1.一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是( C )
A.21B.16C.9D.1
2.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是( D )
A.2x2－6x＋1＝0B.3x2－x－5＝0
C.x2＋x＝0D.x2－4x＋4＝0





3x2－4x＋43=0
－13x2＋x－1=0
x2＋x=1
Δ
0
－13
5
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不等的实数根