初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法第1课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法第1课时教案，共16页。教案主要包含了方法总结，拓展提升，课堂小结，知识网络等内容，欢迎下载使用。
25.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
课题
25.2.2 第1课时 一元二次方程根的判别式
授课人
教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．
3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.
4．通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，并会用数学的语言表达世界.
教学重点
一元二次方程求根公式的推导，利用根的判别式进行相关的判定和计算.
教学难点
一元二次方程求根公式法的推导.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
情境导入
张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！
学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.
探究新知
一元二次方程根的判别式
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
归纳：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac.
通过问题引发学生思考，引导学生探究.
通过问题解决，利用配方法推导一元二次方程的根，总结判别式的概念.
典例精析
【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y；
（3）5(t2＋1)－6t＝0．
【解】（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4，
∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）把原方程化为一般形式，得
4y2－12y＋9＝0．
这里a＝4，b＝－12，c＝9．
∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
（3）把原方程化为一般形式，得
5t2－6t＋5＝0．
这里a＝5，b＝－6，c＝5．
∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0，
∴原方程没有实数根．
【方法总结】给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
【例2】已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
【解】（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0，
解不等式，得k＜94．
∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0，
故k的取值范围是k＜94且k≠0．
（2）取不等式k＜94的一个正整数解k＝2，
则方程为2x2－3x＋1＝0．
应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝12．
【方法总结】应用判别式求字母的取值范围的思路
利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b²—4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解.
【拓展提升】
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．
【解】（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0，
解得k＝36．
此时方程为x2－12x＋36＝0，
解得x1＝x2＝6．
长为3，6，6的线段能构成等腰三角形．
（2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根．
把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27，
∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9．
∵3＋3＜9，
∴长为3，3，9的线段不能构成三角形，
∴k＝27不符合要求．
综上，k的值为36．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
通过例题，加强学生对利用根的判别式判断一元二次方程的根的能力.
随堂检测
1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
答案：A.
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0，
解得a≥1，
∴a的取值范围为a≥1．
答案：D.
3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞－14．
又二次项系数不为0，
∴m≠0，即m＞－14且m≠0．
答案：m＞－14且m≠0.
4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________．
解析：分两种情况讨论．
（1）若方程为一元一次方程，则k＝0，
方程化为－4x＋2＝0，解得x=12.
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≤2．
答案：k≤2.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结
【课堂小结】
引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1.方法层面：学习了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体会 “代数运算预判结论” 的思想，通过计算判别式的值，无需解方程即可直接判断根的类型，感受从 “具体求解” 到 “抽象判断” 的数学方法。
2.知识内容层面：掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式 Δ=b2−4ac，明确：
Δ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根
Δ=0 ⇔方程有两个相等的实数根
Δ