初中数学25.2.2 公式法学案

这是一份初中数学25.2.2 公式法学案，共8页。学案主要包含了素养目标，教学重点，教学过程，课堂小结，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、素养目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；
4.理解一元二次方程公式法的推导原理，掌握公式运用，提升逻辑推理与数学运算能力，培养方程思想解决实际问题.
二、教学重点、难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用.
难点：一元二次方程求根公式法的推导.
三、教学过程
复习引入
用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0
解：移项，得 2x2－5x＝－3
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
∴ x1＝，x2＝1
探究
任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
移项，得 ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得
配方，得
即 ①
∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况：
(1) 当b2－4ac＞0时，＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
，
(2) 当b2－4ac＝0时，＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3) 当b2－4ac＜0时，＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使＜0成立，因此方程无实数根.
可以发现，式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac.
归纳
由上可知，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
Δ＝b2－4ac
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根.
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
例3 用公式法解下列方程：
(1) x2－4x－7＝0 (2) 2x2－2x＋1＝0 (3) 5x2－3x＝x＋1 (4) x2＋17＝8x
解：(1) ∵ a＝1，b＝－4，c＝－7
∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0
方程有两个不相等的实数根
即 ，
解：(2) ∵ a＝2，b＝－2，c＝1
∴ Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0
方程有两个相等的实数根
解：(3) 方程化为 5x2－4x－1＝0
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值.
此时a＝5，b＝－4，c＝－1
∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0
方程有两个不等的实数根
即 x1＝1，x2＝.
解：(4) 方程化为 x2－8x＋17＝0
此时a＝1，b＝－8，c＝17
∴ Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0
方程无实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)化：先把方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
(2)定：确定a，b，c的值；
(3)算：算出b2－4ac的值；
(4)求：当b2－4ac≥0时，把a，b及b2－4ac的值代入一元二次方程的求根公式：，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
回到本章引言中列出的一元二次方程 x2＋5x－25＝0
用公式法解这个方程，得
即 ，
结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈－8.09.
关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m.
课堂练习
1.解下列方程：
(1) x2＋x－6＝0 (2) x2－x－＝0 (3) 3x2－6x－2＝0
(4) 2x2－3x＝0 (5) x2＋4x＋8＝4x＋11 (6) x(2x－4)＝5－8x
2．若关于x的一元二次方程kx2+1=x－x2有实数根,求k的取值范围．
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
五、教学反思
教学过程中，引导学生推导求根公式，再进行例题演练. 同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0. 部分学生对公式推导逻辑理解不透彻，易混淆符号、记错公式结构，甚至部分学生在代入数值时常出现计算失误。后续教学应放慢推导节奏，强化符号辨析与基础计算训练，增设分层习题，巩固公式法解题规范。
课堂检测
1、解方程：
（1）（x-5）2=2（x-5） （2）x2-4x-5=0
（3） （配方法） （4）
（5） （6）
（7） (8)
2．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0
有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
3.先化简，再求值：（ eq \f(1,x－y) － eq \f(1,x＋y) ）÷ eq \f(xy2,x2－y2) ，其中 x= eq \r(2) ＋1，y= eq \r(2) －1.
参考答案：
（1）5,7 （2）-1,5 （3）（4）2，-1 （5）（6（7）1.5，（8）-1，-1.5
m> , m= , m