人教版（2024）八年级上册（2024）第十七章 因式分解17.2 用公式法分解因式精品一课一练

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知识点01 用平方差公式分解因式
平方差公式分解因式的内容：
两个数的平方的差等于这两个数的 乘以这两个数的 。即：
式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。差时用正项底数减去负项的底数。
【即学即练1】
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．﹣x2﹣y2C．m2﹣1D．x2﹣2x+1
【即学即练2】
2．把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
（1）x2﹣5； （2）4a2﹣7； （3）16y2﹣15； （4）3x2﹣2y2．
【即学即练3】
3．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．﹣3
【即学即练4】
4．已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（ ）
A．5B．10C．15D．25
【即学即练5】
5．已知□x2+1＝（1﹣3x）（1+3x），则“□”处的数为（ ）
A．1B．9C．﹣9D．﹣1
知识点02 用完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式的内容：
两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
即 。
式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，则在括号前添加负号。
【即学即练1】
6．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4a2+9b2﹣12abB．a2﹣2ab+b2
C．x2−x+14D．x2+2x+4
【即学即练2】
7．把下列各式分解因式：
（1）4a2+4a+1； （2）1﹣6y+9y2； （3）1+m+m24； （4）4x2﹣12xy+9y2；
（5）m29+2mn3+n2； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25； （7）（x﹣y）2+4xy．
【即学即练3】
8．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．±4D．±8
【即学即练4】
9．若x2﹣（m+1）x+9可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．5B．﹣5或7C．﹣7D．﹣7或5
【即学即练5】
10．如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（ ）
A．2xB．﹣2xC．14x4D．−14x4
题型01 判断式子能否用公式法分解因式
【典例1】下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2+b2B．﹣a2+b2C．﹣a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2
【变式1】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1B．x2+2x+4
C．x2﹣6x+9D．x2+14xy+14y2
【变式2】下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．a2+b2
C．4x2+2xy+y2D．x2﹣4xy﹣4y2
【变式3】下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 用公式法分解因式
【典例1】把下列各式因式分解：
（1）9m2﹣4n2； （2）﹣16+a2b2； （3）n2−964m2； （4）（x﹣2y）2﹣4y2．
【变式1】把下列各式分解因式：
（1）4a2+25b2+20ab； （2）1﹣2xy+x2y2； （3）−12a2+2a﹣2；
（4）（a+b）2﹣4（a+b﹣1）； （5）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2．
【变式2】因式分解：
（1）4a2﹣1； （2）16m4﹣8m2n2+n4．
【变式3】分解因式：
（1）﹣m2+6mn﹣9n2； （2）（3a﹣b）2﹣4（a﹣b）2．
题型03 根据能用公式法分解的式子特点求值
【典例1】已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．1B．8C．﹣8D．±8
【变式1】若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．±24B．±26C．26或﹣22D．﹣26或22
【变式2】分解因式：ax2+by2＝（3x+4y）（3x﹣4y），则a+b的值为（ ）
A．7B．﹣1C．25D．﹣7
【变式3】若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（ ）
A．25或﹣25B．﹣15C．15D．20
【变式4】已知x+2y＝13，x﹣2y＝3，则多项式x2﹣4y2的值是（ ）
A．10B．16C．39D．78
【变式5】若20232026﹣20232024＝2024×2023n×2022，则n的值是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
1．下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A．a2﹣8a+16 B．a2+12a+116C．﹣a2﹣9 D．a2﹣4
2．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y）•A，则代数式A等于（ ）
A．x+yB．x﹣yC．x+2yD．x﹣2y
3．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xyB．2xyC．﹣4xyD．﹣2xy
4．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．﹣3B．±3C．6D．±6
5．如果多项式a2+b2+m可以运用平方差公式分解因式，则m的值是（ ）
A．2cbB．﹣2abC．3b2D．﹣5b2
6．若9x2﹣2（k+3）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．±9B．±15C．9或﹣15D．﹣9或15
7．若非零实数a、b满足4a2+b2＝4ab，则ba=（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
8．已知x=3+1，y=3−1，则x2+2xy+y2的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
9．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2B．6C．4D．8
10．将多项式4x2+1加上一项，使它能化成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．4xB．﹣4xC．4x4D．2x
11．因式分解：x（x﹣2）+1＝ ．
23．分解因式4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2＝ ．
13．如果x﹣y＝2，x+y＝5，则x2﹣y2＝ ．
14．已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝ ，y＝ ．
15．若a＞0，且a−1a=1，则a2−1a2的值为 ．
16．分解因式：
（1）﹣16x2+y2； （2）4（x+y）2﹣9（x﹣y）2； （3）m4﹣18m2+81．
17．若|a+4|与b2+4b+4互为相反数，把多项式（x+a）（x+b）+1因式分解．
18．已知：x2﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值：
（1）x﹣y；
（2）2x2﹣2xy+10y．
19．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ．
20．【阅读材料】
在学习新的数学知识的时候，经常利用“化归”的数学思想方法解决问题，比如，在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成一元方程，从而正确求解，下面就利用“化归”的数学方法解决新的问题．
首先，把像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法，同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？
例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0．
分析：为了解决这个问题．我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过因式分解，我们可以把x2﹣9写成（x+3）（x﹣3）的形式，从而将x2﹣9＞0转化为（x+3）（x﹣3）＞0，然后再利用两数相乘的符号性质得一元二次不等式转化成一元一次不等式（组）．从而解决问题．
解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），
∴x2﹣9＞0可化为（x+3）（x﹣3）＞0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得x+3＞0x−3＞0①或x+3＜0x−3＜0②，
解不等式组①，x＞3，
解不等式组②，x＜﹣3，
即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3．
【拓展应用】
（1）求一元二次不等式x2﹣16＞0的解集．
（2）求分式不等式x−1x−3＜0的解集．
（3）求一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集．
教学目标
掌握能用平方差公式分解的多项式的特点以及平方差公式分解因式的方法并能在题目中熟练应用。
掌握能用完全平方公式分解的多项式的式子特点以及用完全平方公式分解因式的方法并能够熟练应用。
教学重难点
重点
平方差公式分解因式；
完全平方公式分解因式。
2. 难点
（1）利用公式法分解因式；
（2）根据公式法分解因式的式子特点求值。