第十七章 因式分解 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（人教版2024）

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第十七章 因式分解（单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．24＝2×2×6B．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1C．﹣4y2+4y﹣1＝﹣（2y﹣1）2D．m2−2m−1=m(m−2−1m)【答案】C【解答】解：A．24不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；D．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．2．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　）A．a2﹣8a+16B．a2+12a+116C．﹣a2﹣9D．a2﹣4【答案】C【解答】解：A、a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故此选项不合题意；B、a2+12a+116=（a+14）2，故此选项不合题意；C、﹣a2﹣9无法分解因式，故此选项符合题意；D、a2﹣4＝（a﹣2）（a+2），故此选项不合题意；故选：C．3．6x2y﹣3xy2分解因式时，应提取的公因式是（　　）A．3xyB．3x2yC．3x2y3D．3x2y2【答案】A【解答】解：6x2y﹣3xy2＝3xy（2x﹣y），公因式是3xy，故选：A．4．计算﹣22026﹣（﹣2）2027的结果是（　　）A．﹣22025B．22026C．22025D．﹣22026【答案】B【解答】解：﹣22026﹣（﹣2）2027＝﹣22026﹣（﹣22027）＝﹣22026+22027＝22026×（2﹣1）＝22026，故选：B．5．若将多项式a2+5a+6因式分解，得（a+2）（a+m），则m的值为（　　）A．1B．3C．4D．6【答案】B【解答】解：（a+2）（a+m）＝a2+（m+2）a+2m，由一次项系数得，m+2＝5，解得m＝3；由常数项得，2m＝6，解得m＝3；∴m＝3．故选：B．6．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）A．24B．70C．40D．140【答案】B【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10，∴a+b＝7，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70，故选：B．7．已知p＝﹣m﹣n，q＝mn，那么关于x的整式x2+px+q因式分解的结果是（　　）A．（x+m）（x+n）B．（x﹣m）（x﹣n）C．（x+m）（x﹣n）D．（x﹣m）（x+n）【答案】B【解答】解：由条件可知多项式为x2+（﹣m﹣n）x+mn，∴x2+px+q＝（x﹣m）（x﹣n）．即x2+px+q因式分解结果为（x﹣m）（x﹣n）．故选：B．8．多项式4x2+1加上一个单项式后，就会成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①﹣2，②±4x，③﹣3x2，④4x4中的（　　）A．②B．①③C．②④D．①②③④【答案】C【解答】解：①多项式4x2+1加上﹣2后，多项式为4x2+1﹣2＝4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），是平方差不是完全平方，不符合题意；②多项式4x2+1加上±4x后，多项式为4x2+1±4x＝（2x±1）2，是完全平方，符合题意；③多项式4x2+1加上﹣3x2后，多项式为4x2+1﹣3x2＝x2+1，不是完全平方，不符合题意；④多项式4x2+1加上4x4后，多项式为4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，是完全平方，符合题意．故选：C．9．x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（　　）A．6或﹣8B．13C．﹣8D．13或﹣15【答案】D【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，∴﹣（m+1）＝±14，即m+1＝﹣14或m+1＝14，解得：m＝13或﹣15，故选：D．10．对于实数a，b，定义新运算“☆”，规定：a☆b＝a3﹣ab．将多项式a☆4因式分解的其结果是（　　）A．a（a2﹣4）B．a（a+4）（a﹣4）C．a（a﹣2）2D．a（a+2）（a﹣2）【答案】D【解答】解：a☆4＝a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），故选：D．11．因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）A．（x+3）（x﹣4）B．（x+4）（x﹣3）C．（x+6）（x﹣2）D．（x+2）（x﹣6）【答案】C【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝x2﹣6x+2x﹣12＝x2﹣4x﹣12，（x+8）（x﹣4）＝x2﹣4x+8x﹣32＝x2+4x﹣32，∵因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），∴n＝﹣12，m＝4，∴x2+mx+n＝x2+4x﹣12＝（x+6）（x﹣2），故选：C．12．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（　　）A．12张B．10张C．6张D．4张【答案】C【解答】解：∵（3m+n）2＝9m2+6mn+n2，∴取C纸片6张．故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．因式分解：x（x﹣2）+1＝　（x﹣1）2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：x（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．14．已知m（m+n）＝12，n（m+n）＝24，则m+n＝　±6　 ．【答案】±6．【解答】解：∵m（m+n）＝12，n（m+n）＝24，∴m（m+n）+n（m+n）＝12+24，∴（m+n）（m+n）＝36，即（m+n）2＝36，∴m+n＝±6，故答案为：±6．15．若多项式x2+2（m﹣1）x+9可分解因式为（x﹣3）2的形式，则m的值为　﹣2　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由条件可得2（m﹣1）＝﹣6，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．16．若x2+px﹣6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值为　±1、±5　 ．【答案】±1、±5．【解答】解：∵﹣6＝﹣6×1＝﹣3×2＝6×（﹣1）＝﹣2×3，∴p＝﹣6+1＝﹣5；p＝﹣3+2＝﹣1；p＝6﹣1＝5，p＝﹣2+3＝1．故整数p的所有可能值为±1、±5．故答案为：±1、±5．17．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可因式分解为（3x﹣a）（x﹣b），其中a，b均为正整数，则a+3b的值为　31　 ．【答案】31．【解答】解：原式＝（3x﹣7）[（2x﹣21）﹣（x﹣13）]＝（3x﹣7）（x﹣8），∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可因式分解为（3x﹣a）（x﹣b），∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x﹣a）（x﹣b），则a＝7，b＝8，故a+3b＝7+3×8＝31．故答案为：31．18．x3+6x2+6x+1因式分解后，一个因式为x+1，则另一个因式是x2+5x+1　 ．【答案】x2+5x+1．【解答】解：原式＝x3+x2+5x2+5x+x+1＝x2（x+1）+5x（x+1）+（x+1）＝（x+1）（x2+5x+1），故答案为：x2+5x+1．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）分解因式：（1）﹣3a3m+6a2m﹣12am；（2）（m﹣1）+n2（1﹣m）；（3）（3x﹣2y）2﹣（5x﹣3y）（x﹣y）．【答案】（1）﹣3am（a2﹣2a+4）；（2）（m﹣1）（1+n）（1﹣n）；（3）（2x﹣y）2．【解答】解：（1）原式＝﹣3am（a2﹣2a+4）；（2）原式＝（m﹣1）（1﹣n2）＝（m﹣1）（1+n）（1﹣n）；（3）原式＝9x2﹣12xy+4y2﹣5x2+5xy+3xy﹣3y2＝4x2﹣4xy+y2＝（2x﹣y）2．20．（8分）以下是小明因式分解的过程：16﹣a2+4ab﹣4b2＝（16﹣a2）+（4ab﹣4b2）⋯①＝（4+a）（4﹣a）+4b（a﹣b）…②＝4b（1+a）（1﹣a）（a﹣b）…③小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程．【答案】小明做得不正确，他是从第①步出了错，正确过程如下：原式＝16﹣（a2﹣4ab+4b2）＝16﹣（a﹣2b）2＝[4+（a﹣2b）][4﹣（a﹣2b）]＝（4+a﹣2b）（4﹣a+2b）．【解答】解：小明做得不正确，他是从第①步出了错，正确过程如下：原式＝16﹣（a2﹣4ab+4b2）＝16﹣（a﹣2b）2＝[4+（a﹣2b）][4﹣（a﹣2b）]＝（4+a﹣2b）（4﹣a+2b）．21．（8分）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B是完全平方式，求a的值；（2）若A﹣B可以分解为（x﹣1）（x﹣6），求a．【答案】（1）a＝1或﹣7；（2）10．【解答】解：（1）A+B＝x（x+3）+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4，∵A+B为完全平方式∴3+a＝±4，∴a＝1或﹣7；（2）A﹣B＝x2+（3﹣a）x+6∵（x﹣1）（x﹣6）＝x2﹣7x+6，∴3﹣a＝﹣7，∴a＝10．22．（8分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体想想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你完成下列各题：（1）因式分解：﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．【答案】（1）﹣（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）（y﹣3）4．【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝m，则原式＝﹣2m+m2＝﹣m（2﹣m），再将x﹣y＝m代入，得原式＝﹣（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）将“y2﹣6y”看成整体，设y2﹣6y＝m，则原式＝m（m+18）+81＝m2+18m+81＝（m+9）2．再将y2﹣6y＝m代入，得原式＝（y2﹣6y+9）2＝（y﹣3）4．23．（10分）定义一种新的运算：对于任意两个有理数a，b，规定M（a，b）＝a2+ab．例如，M（1，2）＝12+1×2＝3；M（2，1）＝22+2×1＝6．若x，y为有理数，请解答下列问题：（1）若M（x，y）+M（y，kx）是一个完全平方式，求k的值；（2）若2x+y＝5，M（2x+3y，2x﹣3y）+M（y，﹣12x+y）＝34，求xy的值．【答案】（1）k＝1或k＝﹣3；（2）xy＝2．【解答】解：（1）根据题意可知，M（x，y）+M（y，kx）＝x2+xy+y2+kxy＝x2+（k+1）xy+y2，∵x2+（k+1）xy+y2是一个完全平方式，∴k+1＝±2，解得：k＝1或k＝﹣3；（2）根据题意可知，（2x+3y）2+（2x+3y）（2x﹣3y）+y2+y（﹣12x+y）＝34，4x2+12xy+9y2+4x2﹣9y2+y2﹣12xy+y2＝34，2（4x2+y2）＝34，4x2+y2＝17，∵2x+y＝5，∴（2x+y）2＝4x2+4xy+y2＝25，4xy+17＝25，解得：xy＝2．24．（10分）阅读下列解题的过程．分解因式：x4+64．解：x4+64＝x4+16x2+64﹣16x2＝（x2+8）2﹣16x2＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）以上解法中，在x4+64的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+64的值相等，必须减去同样的一项．请按照上述解题思路完成下列因式分解：（1）a4+4；（2）x4﹣34x2y2+81y4．【答案】（1）（a2+2﹣2a）（a2+2+2a）；（2）（x2﹣9y2﹣4xy）（x2﹣9y2+4xy）．【解答】解：（1）原式＝a4+4a2+4﹣4a2＝（a2+2）2﹣4a2＝（a2+2﹣2a）（a2+2+2a）；（2）原式＝x4﹣18x2y2+81y4﹣16x2y2＝（x2﹣9y2）2﹣16x2y2＝（x2﹣9y2）2﹣（4xy）2＝（x2﹣9y2﹣4xy）（x2﹣9y2+4xy）．25．（10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：　（a+b）2 ；方法2：a2+2ab+b2 ；（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab ；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①已知a+b＝6，a2+b2＝20，求ab的值；②已知（2024﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2025）的值．【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①8；②﹣3．【解答】解：（1）方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，a2+b2＝20，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），＝62﹣20，＝16，∴ab＝8；②设2024﹣a＝m，a﹣2025＝n，∴m+n＝﹣1，∵（2024﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，∴m2+n2＝7，∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），＝（﹣1）2﹣7，＝1﹣7，＝﹣6，∴ab＝﹣3，∴（2024﹣a）（a﹣2025）＝﹣3．26．（12分）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+x2+3x﹣5．解：观察可知，当x＝1时，原式＝0．∴原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+bx+c），∵（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，∴x3+x2+3x﹣5＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c∵等式两边x同次幂的系数相等，则有：b−1=1c−b=3−c=−5，解得b=2c=5．∴x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+2x+5）．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2﹣3的过程中，观察可知，当x＝　1　 时，原式＝0，所以原式可分解为 x﹣1　 与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b＝　3　 ，c＝　3　 ．（2）已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c）．……（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为 　2x﹣5　 ，k的值为 　20　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）观察可知，当x＝1时，原式＝0．∴原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．设另一个整式为x2+bx+c．则x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），∵（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，∴x3+2x2﹣3＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c∵等式两边x同次幂的系数相等，则有：b−1=2−c=−3，解得b=3c=3．∴x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．故答案为：1，x﹣1，3，3；（2）设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），∵（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，∴x3+ax+1＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，∴0=b+1a=c+bc=1，解得：a=0b=−1c=1，∴a＝0，另一个因式为（x2﹣x+1）；（3）设另一个因式为2x+c，则2x2+3x﹣k＝（x+4）（2x+c），∵（x+4）（2x+c）＝2x2+（c+8）x+4c，∴2x2+3x﹣k＝2x2+（c+8）x+4c，∴c+8=34c=−k，解得：c=−5k=20，∴k＝20，另一个因式为（2x﹣5）；故答案为：2x﹣5，20．