第十七章 因式分解 - 初中数学八年级上册 单元核心知识点+练习（人教版2024）

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第十七章 因式分解 考点01 因式分解 分解因式的概念：把一个多项式写成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。与整式的乘法互为逆运算。左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。考点02 提公因式法分解因式 公因式的概念：多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式。公因式的求法：公因式＝系数的最大公约数×相同字母（式子）的最低次幂。注意多项式首项为负号，则公因式为负。多项式提取公因式后的另一个因式的求法：多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷公因式。提公因式分解因式：将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。考点03 用公式法分解因式平方差公式分解因式的内容：两个数的平方的差等于这两个数的和乘以这两个数的差。即：a+ba−b平方差公式式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个二项式，符号相反且都可以写成平方的形式。②因式分解结果：等于写成平方形式时的底数的和乘以底数的差。差时用正项底数减去负项的底数。完全平方公式分解因式的内容：两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即a±b2。完全平方公式的式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个三项式，其中两项符号相同且都能写成平方的形式，第三项是平方两项底数乘积的两倍。②因式分解结果：等于底数和的平方或底数差的平方。若第三项与平方两项符号相同，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号相反，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，则在括号前添加负号。考点04 其他分解因式分方法十字相乘法： 对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为： 举例说明： 。∴对于初中所用的十字相乘法，二次项系数基本是等于1的，即。若存在有，且，则可分解为： 举例说明： ∵且 ∴分组分解法：通常情况下若多项式的项数超过三项，则需要用到分组分解的方法，所以要对多项式进行分组，被分在一组的要么可以用基础的分解方法分解且得到的结果中含有公因式。整体法（换元法）：通常情况下八题目中的某一部分看做一个整体用一个简单的字母代替然后进行分解，最后把原来整体的反带入分解结果。注意代入之后要观察是否可以继续分解。添项或拆项法： 对多项式进行添加一项或者把某一项拆分开达到能分解目的的方法。题型01 因式分解的变形判断1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4B．x2+3x+2＝x（x+3）+2C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）D．15x3y2＝3x3•5y22．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．24＝2×2×6B．a2﹣b2﹣1＝（a+b）（a﹣b）﹣1C．﹣4y2+4y﹣1＝﹣（2y﹣1）2D．m2−2m−1=m(m−2−1m)3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）A．x2+4x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+4xB．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2D．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1）4．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（　　）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）C．a2+2ab+b2+1＝（a+b）2+1D．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2题型02 利用因式分解的变形求值1．若将多项式a2+5a+6因式分解，得（a+2）（a+m），则m的值为（　　）A．1B．3C．4D．62．若x2+mx﹣5＝（x﹣5）（x+n）则m+n的值为（　　）A．5B．﹣3C．﹣5D．33．若多项式2x2+kx﹣24因式分解后的结果是（ax+3）（x﹣8），则k的值是（　　）A．10B．﹣12C．﹣13D．134．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣2），则a，b的值分别是（　　）A．1，2B．﹣1，﹣2C．﹣1，2D．1，﹣25．多项式x2﹣ax﹣10分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　）A．2个B．3个C．4个D．无数个题型03 求多项式的公因式1．多项式m2+mn的公因式是（　　）A．m2B．mC．mnD．n2．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（　　）A．﹣3a2b2B．﹣3abC．﹣3a2bD．﹣3a3b33．把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　）A．xyzB．2xyC．2xyzD．2x2y2z24．多项式m2﹣2m与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　）A．m+2B．m﹣2C．（m﹣2）（m+2）D．（m﹣2）2题型04 求多项式提取公因式后的式子1．多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是 　 ．2．多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为 　 ．3．把2（a﹣3）+a（a﹣3）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为　 　 ．4．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　）A．x﹣2B．x+2C．2﹣xD．﹣2﹣x5．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后得（m﹣1）（　　），括号中内容是（　　）A．m+1B．2mC．m﹣1D．m+2题型05 利用公式的特点求值1．已知x2+2mx+64（m为常数）是一个完全平方式，则m的值为（　　）A．4B．﹣4C．±4D．±82．若x2﹣6x+k2恰是另一个整式的平方，则常数k的值为（　　）A．9B．3C．﹣3D．±33．若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为 ．4．若x2﹣（m+2）x+16可以用完全平方式来分解因式，则m的值为（　　）A．±2B．2或﹣6C．±6D．6或﹣105．已知a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值为（　　）A．5B．10C．15D．256．已知x=3+1，y=3−1，则x2+2xy+y2的值为（　　）A．4B．6C．8D．127．分解因式：ax2+by2＝（3x+4y）（3x﹣4y），则a+b的值为（　　）A．7B．﹣1C．25D．﹣78．已知x+2y＝13，x﹣2y＝3，则多项式x2﹣4y2的值是（　　）A．10B．16C．39D．78题型06 判断多项式因式分解是否正确1．下列因式分解正确的是（　　）A．ax2﹣4ax+4a＝ax（x﹣4）+4aB．x2y﹣xy+xy2＝xy（x﹣1+y）C．x2﹣4x+4＝（2x﹣1）2D．x2﹣9＝（x﹣3）22．下列因式分解正确的是（　　）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x2+2x＝x（x+2）C．2x2﹣2＝2（x2﹣1）D．x2+4x+4＝x（x+4）+43．下列因式分解正确的是（　　）A．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）B．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2）C．﹣a2+（﹣b）2＝（a+b）（b﹣a）D．x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2题型07 对多项式进行因式分解1．分解因式：（1）﹣3a3m+6a2m﹣12am； （2）（m﹣1）+n2（1﹣m）； （3）（3x﹣2y）2﹣（5x﹣3y）（x﹣y）．2．因式分解（1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3；（3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．3．把下列各式分解因式：（1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）；（3）（x2+1）2﹣4x2； （4）﹣m2+6mn﹣9n2．4．因式分解：（1）2（a﹣b）2+a（b﹣a）； （2）3a3﹣6a2b﹣24ab2； （3）7a2﹣3b+ab﹣21a；（4）（a2+1）2﹣4a2； （5）（a2+5a）2﹣（a2+5a）﹣20．题型08 因式分解的其他方法的应用1．阅读理解：例：因式分解（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36．解：设x2+6x＝y．原式＝（y+5）（y﹣7）+36＝y2﹣2y﹣35+36＝y2﹣2y+1＝（y﹣1）2＝（x2+6x﹣1）2．解决问题：请你模仿以上例题分解因式：（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9．2．阅读材料：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3）．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．利用上述“配方法”分解因式：（1）x2﹣2x﹣15；（2）x2+4xy﹣5y2．3．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2：分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2，上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题：（1）分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；（2）分解因式：（m+2）（m+2﹣6）+5．4．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式．【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）+3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2+3b）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式．【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式．5．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．甲：x2+xy﹣2x﹣2y＝（x2+xy）﹣（2x+2y）（先分成两组）＝x（x+y）﹣2（x+y）＝（x+y）（x﹣2）．乙：a2﹣b2+2b﹣1＝a2﹣（b2﹣2b+1）（先分成两组）＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解：（1）试用上述方法分解因式：m2+2mn+n2+ma+na；（2）已知x+y＝14，且x3+x2y﹣xy2﹣y3＝0，求x﹣y．6．阅读材料，解决问题【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2，∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．7．利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．8．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①M＝x2+8x+11，利用配方法求代数式M的最小值．解：x2+8x+11＝（x2+8x+16）﹣16+11（先加上16，再减去16）＝（x+4）2﹣5（运用完全平方公式）∵（x+4）2≥0，∴当x＝﹣4时，M有最小值﹣5．②用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣32＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）＝（x+1）（x﹣5）（1）若M＝x2﹣8x，求M的最小值；（2）请把下列多项式因式分解：①x2+6x+5；②m2﹣m﹣12．9．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+t）x+p．那么，反过来，也有x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．例如，因式分解x2+3x+2．这个式子的二次项系数是1，常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，符合x2+（p+q）x+pq类型，于是有x2+3x+2＝（x+1）（x+2）这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们也可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）分解因式：①x2﹣5x﹣24 ；②x2+8xy+12y2；【知识应用】（2）请用上述方法，因式分解：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2；【拓展提升】（3）因式分解：x2y+x2﹣3xy+xy2﹣4y2．10．教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：x2+2x﹣3解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）再如：求代数式2x2+4x﹣6 的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8∵2（x+1）2≥0∴2（x+1）2﹣8≥﹣8∴当x＝﹣1 时，2x2+4x﹣6 有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）分解因式：x2+6x﹣7 （应用配方法）（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5 有最大值？并求出这个最大值．（3）利用配方法，尝试求出等式a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0 中a，b的值．11．阅读并解决问题：对于二次三项式x2+4x﹣12，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用；例1．用配方法因式分解：a2+6a+8．解：原式＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．例2．若M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值：解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1﹣1+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．∵（a﹣1）2≥0．∴当a＝1时，M有最小值5．请利用配方法解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+10a+　 　 ；（2）利用“配方法”分解因式：x2﹣6x+5；（3）若N＝2x2+4x+8，求N的最小值；（4）已知整式A＝﹣x2+4x﹣5与B＝x2﹣4x+4，请比较A、B的大小．题型09 因式分解中的错解题型1．甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是（x﹣4）（x+5），乙看错了c的值，分解的结果是（x+3）（x﹣4），那么x2+bx+c分解因式正确的结果为（　　）A．（x﹣5）（x﹣4）B．（x+4）（x﹣5）C．（x﹣4）（x+5）D．（x+4）（x+5）2．因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）A．（x+3）（x﹣4）B．（x+4）（x﹣3）C．（x+6）（x﹣2）D．（x+2）（x﹣6）3．甲、乙两个同学分解因式2x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为2（x﹣1）（x﹣9）；乙看错了b，分解结果为2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．4．甲乙两个同字分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x﹣1）（x﹣9），求2a+b的值．教学目标熟练掌握全等三角形全章知识点；熟练运用全章知识点解决相应的题目题型。教学重难点重点（1）提公因式法分解因式；（2）公式法分解因式；（3）十字相乘法及其他方法分解因式。2. 难点（1）因式分解的变形求值；（2）对因式分解方法的综合运用。