第十六章 整式的乘法 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（人教版2024）

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第十六章 整式的乘法（单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列计算正确的是（　　）A．2a•3a＝6a2B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．（ab）2＝ab2【答案】A【解答】解：A、结果是6a2，故本选项符合题意；B、结果是a5，故本选项不符合题意；C、结果是a6，故本选项不符合题意；D、结果是a2b2，故本选项不符合题意；故选：A．2．已知5a＝3，5b＝2，则52a﹣3b的值为（　　）A．34B．1C．98D．32【答案】C【解答】解：∵5a＝3，5b＝2，∴（5a）2÷（5b）3＝9÷8=98，∴52a﹣3b=98．故选：C．3．计算（﹣8）2025×（0.125）2026的结果是（　　）A．﹣0.125B．0.125C．1D．﹣8【答案】A【解答】解：原式＝﹣82025×（0.125）2025×0.125＝﹣（8×0.125）2025×0.125＝﹣1×0.125＝﹣0.125．故选：A．4．一个长方体的长、宽、高分别是3a+1，2a，a2，这个长方体的体积是（　　）A．6a2+2B．6a3+2aC．6a4+2a2D．6a4+2a3【答案】D【解答】解：长方体的体积是（3a+1）•2a•a2＝（3a+1）•2a3＝6a4+2a3，故选：D．5．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京举行．阅兵的分列式环节，一支方队每行有（a+12）人，一共有（b+5）行（a＞b＞0），小明突发奇想，他对同学兰兰说：“如果这只方队每行增加3人，减少3行，方队的总人数不变．”你觉得这支方队的总人数（　　）A．变多了B．变少了C．没有变化D．无法确定【答案】B【解答】解：原方队总人数为：（a+12）（b+5）＝ab+5a+12b+60，调整后总人数为：（a+12+3）（b+5﹣3）＝（a+15）（b+2）＝ab+2a+15b+30，原方队总人数减去调整后方队总人数为：（ab+5a+12b+60）﹣（ab+2a+15b+30）＝（ab﹣ab）+（5a﹣2a）+（12b﹣15b）+（60﹣30）＝3a﹣3b+30＝3（a﹣b）+30，由条件可知3（a﹣b）＞0，∴3（a﹣b）+30＞0，∴原方队总人数大于调整后方队总人数，∴方队总人数变少了；故选：B．6．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为n小正方形纸片（m＞n），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（　　）A．m2+2mn+n2＝（m+n）2B．m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2C．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）D．m2﹣mn＝m（m﹣n）【答案】C【解答】解：根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积可知：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：m2﹣n2；根据第二个图可知：阴影部分的面积为：（m+n）（m﹣n）；∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故选：C．7．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　）A．+10xyB．+10xy或﹣10xyC．+20xyD．+20xy或﹣20xy【答案】D【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2，∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，∴墨迹覆盖的这一项是±20xy，故选：D．8．对于多项式：x﹣1，x+2，2x﹣2，2x+4，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：（x﹣1）（x+2）﹣（2x﹣2）（2x+4）＝﹣3x2﹣3x+6．下列说法：①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有“积差操作”共有5种不同结果．其中正确的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：根据整式的运算法则列出所有可能的操作组合如下：（x﹣1）（2x+4）﹣（x+2）（2x﹣2）＝（2x2+2x﹣4）﹣（2x2+2x﹣4）＝0；（x﹣1）（x+2）﹣（2x﹣2）（2x+4）＝（x2+x﹣2）﹣（4x2+4x﹣8）＝﹣3x2﹣3x+6；（x﹣1）（2x﹣2）﹣（x+2）（2x+4）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2+8x+8）＝﹣12x﹣6；（x+2）（2x﹣2）﹣（x﹣1）（2x+4）＝（2x2+2x﹣4）﹣（2x2+2x﹣4）＝0；（2x﹣2）（2x+4）﹣（x﹣1）（x+2）＝（4x2+4x﹣8）﹣（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6；（x+2）（2x+4）﹣（x﹣1）（2x﹣2）＝（2x2+8x+8）﹣（2x2﹣4x+2）＝12x+6结果中，有不同结果有5种：0、﹣12x﹣6、12x+6、﹣3x2﹣3x+6、3x2+3x﹣6．根据以上计算结果逐项分析判断如下：说法①：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确，符合题意；说法②：存在结果为0的操作，错误，不符合题意；说法③：有5种不同结果，正确，符合题意；故选：C．9．已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　）A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b【答案】A【解答】解：∵b＝96＝（32）6＝312，a＝313，c＝275＝（33）5＝315且12＜13＜15，∴c＞a＞b．故选：A．10．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（x＞y）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（　　）①x+y＝7；②x﹣y＝3；③xy＝10；④x2+y2＝29；⑤x2﹣y2＝21．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解答】解：由于大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，所以大正方形边长为7，小正方形边长为3，即x+y＝7，x﹣y＝3，故①②正确；又因为四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以4xy+9＝49，所以xy＝10，故③正确；由完全平方公式可知x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝49﹣20＝29，故④正确；由平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝7×3＝21，故⑤正确，综上所述，不正确的有0个，故选：A．11．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　）A．3B．19C．21D．28【答案】B【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，∴（x+y）2＝64，∴x2+y2+2xy＝64，∵点H为AE的中点，∴AH＝EH＝4，∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，∴x2+y2＝35，∴图1的阴影部分面积＝x2+y2−12×4•x−12×4•y＝x2+y2﹣2（x+y）＝35﹣2×8＝19，故选：B．12．对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1）．于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），分别求出p，q值，就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．上述式子中p、q的值分别为（　　）A．4，4B．4，﹣4C．﹣4，4D．﹣4，﹣4【答案】D【解答】解：根据题意，设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）＝x3+px2+qx﹣x2﹣px﹣q＝x3+（p﹣1）x2+（q﹣p）x﹣q与原多项式比较系数，∴p−1=−5q−p=0−q=4，解得：p=−4q=−4．∴p和q的值分别为﹣4和﹣4．故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．计算：(3x2y−2xy2)÷(−12xy)=　﹣6x+4y ．【答案】﹣6x+4y．【解答】解：原式 =3x2y÷(−12xy)−2xy2÷(−12xy)＝﹣6x+4y．故答案为：﹣6x+4y．14．如果2m×4m＝215，那么m＝　5　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2m×4m＝2m•22m＝23m＝215，∴3m＝15，解得m＝3．故答案为：515．若关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2项，则m＝　−12　 ．【答案】−12．【解答】解：原式＝（2m+1）x2+（m﹣4）x+（n﹣2），由于化简后不含x2项，故x2项的系数为0，即：2m+1＝0，解得：m=−12．故答案为：−12．16．已知a＝x﹣2024，b＝x﹣2025，c＝x﹣2026，a2+c2＝10，则b2＝　4　 ．【答案】4．【解答】解：根据题意可知，a＝b+1，c＝b﹣1，∵a2+c2＝10，∴（b+1）2+（b﹣1）2＝10， b2+2b+1+b2﹣2b+1＝10，2b2+2＝10，解得：b2＝4．故答案为：4．17．规定：如果两数a、b满足am＝b，则记为（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．如果（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，那么（3，　128　 ）＝3n．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，∴34＝m+17，∴m+17＝81，解得：m＝64，∵（27，2m）＝n，∴27n＝2m，∴27n＝33n＝2×64＝128，∴（3，128）＝3n，即如果（3，m+17）＝4，（27，2m）＝n，那么（3，128）＝3n．故答案为：128．18．阅读材料：计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）＝[（2﹣1）×（2+1）]×（22+1）×（24+1）＝[（22﹣1）×（22+1）]×（24+1）＝（24﹣1）×（24+1）＝28﹣1＝255运用上述方法求(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215= 　2　 ．【答案】2．【解答】解：原式=(1−12)×(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)12+1215=(1−122)×(1+122)×(1+124)×(1+128)12+1215 =(1−124)×(1+124)×(1+128)12+1215 =(1−128)×(1+128)12+1215 =(1−1216)12+1215 =2(1−1216)+1215 =2−1215+1215 ＝2．故答案为：2．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：（1）如果3×9x×27x＝326，求x的值；（2）已知m＝63，n＝54，用含m，n的式子表示3036．【答案】（1）5；（2）m12n9．【解答】解：（1）∵3×9x×27x＝326，∴3×32x×33x＝31+5x＝326，∴1+5x＝26，∴x＝5；（2）∵m＝63，n＝54，∴3036＝（6×5）36＝636×536＝（63）12×（54）9＝m12n9．20．（8分）如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一片靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为（4a+b）米，宽为（a+b）米．（1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为a米，求空白部分的面积S（用含有a，b的代数式表示，并化简）；（2）受场地条件的限制，a的取值范围为5≤a≤7，求b的取值范围．【答案】（1）S＝3a2+5ab+b2；（2）6≤b≤10．【解答】解：（1）长方形花园的面积为长×宽，即（4a+b）（a+b），正方形水池的面积为a2，∴空白部分的面积S＝（4a+b）（a+b）﹣a2，（4a+b）（a+b）＝4a×a+4a×b+b×a+b×b＝4a2+4ab+ab+b2＝4a2+5ab+b2，∴S＝4a2+5ab+b2﹣a2＝3a2+5ab+b2；（2）∵长方形花园靠墙，∴护栏长度为长+2×宽，即4a+b+2（a+b）＝60，化简该等式：即4a+b+2a+2b＝606a+3b＝602a+b＝20b＝20﹣2a，已知5≤a≤7，∴﹣14≤﹣2a≤﹣10∴20﹣14≤20﹣2a≤20﹣10，∴6≤b≤10．21．（8分）小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10．（1）求a，b的值；（2）请计算出这道题的正确结果．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10，6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10，∴2b﹣3a＝11①，﹣ab＝﹣10，（2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10，2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10，∴2b+a＝﹣9②，ab＝10，①﹣②，得﹣4a＝20，解得a＝﹣5，∴b＝﹣2；（2）由（1）知a＝﹣5，b＝﹣2，∴（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣4x﹣15x+10＝6x2﹣19x+10．22．（8分）定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L（A）＝3．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”．例如多项式A＝x2+2x﹣3，B＝x﹣1，则C＝x3+x2﹣5x+3，则L（A）＝3，L（C）＝4，3≤4≤3+1，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．（1）若A＝x﹣4，B＝x+5均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；（2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求a的值．【答案】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，证明过程见解析；（2）a＝3．【解答】解：（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由如下：（x﹣4）（x+5）＝x2﹣4x+5x﹣20＝x2+x+20，∵x2+x﹣20的项数比A的项数多1项，∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”；（2）（x﹣3）（x2+ax+9）＝x3+ax2+9x﹣3x2﹣3ax﹣27＝x3+（a﹣3）x2+（9﹣3a）x﹣27，∵B是A的“极好多项式”，∴a﹣3＝0且9﹣3a＝0，解得a＝3．23．（10分）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．方法1：　（m+n）2﹣4mn ，方法2：　（m﹣n）2 ；（2）利用等量关系解决下面的问题：①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；②已知x2+1x2=11，求x−1x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方法1，∵图②中大正方形的边长为（m+n），∴图②中大正方形的面积为：（m+n）2，∵图①中长方形的长为2m、宽为2n，∴图①中长方形的面积为：2m•2n＝4mn，又∵S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积，∴S阴影=(m+n)2−4mn，方法2：由条件可知S阴影＝小长方形的面积＝（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2．（2）由（1）得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，①∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，∴a2+b2﹣2ab＝25，∴a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13；②由条件可知x2+1x2−2=9，∴(x−1x)2=9，∴x−1x=±3．24．（10分）数学活动：【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．“数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为（a+b）的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为（a+b）2，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为a2的正方形有1块，面积为b2的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为a2+2ab+b2，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．【直接应用】（1）已知：a+b＝5，a2+b2＝17，求ab的值；【解决问题】（2）如图2，四边形ABCD是长方形，分别以AD，DC为边向两边作正方形ADEF和正方形CGHD，若AH＝8，两正方形的面积和为54，求长方形ABCD的面积；【知识迁移】（3）若（2025﹣m）（m﹣2024）＝﹣4，求（2025﹣m）2+（m﹣2024）2的值．【答案】（1）ab＝4；（2）S长方形ABCD＝5；（3）9．【解答】解：（1）∵a+b＝5，a2+b2＝17，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣17＝8，∴ab＝4；（2）设正方形ADEF的边长为a，正方形CGHD的边长为b，则AH＝a+b＝8，∵S正方形ADEF+S正方形CGHD＝54，∴a2+b2＝54，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，∴ab＝5，∴S长方形ABCD＝AD•CD＝ab＝5；（3）设2025﹣m＝a，m﹣2024＝b，则a+b＝1，ab＝﹣4，∴（2025﹣m）2+（m﹣2024）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2×（﹣4）＝9．24．（10分）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．解决问题：（1）将指数43＝64转化为对数式 　3＝log464　 ；（2）①log232＝ 　5　 ，②log327＝ 　3　 ，③log71＝ 　0　 ；（3）证明：loga(MN)=logaM−logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；拓展运用：（4）计算：log32+log36﹣log336．【答案】（1）3＝log464；（2）5，3，0；（3）﹣1．【解答】解：（1）∵43＝64，∴3＝log464，故答案为：3＝log464；（2）①∵25＝32，∴log232＝5；②∵33＝27，∴log327＝3；③∵70＝1，∴log71＝0．故答案为：5，3，0；（3）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，MN=am÷an=am−n，由题目中对数的定义可得：m−n=loga(MN)又∵m﹣n＝log，M﹣1ogV，∴loga(MN)=logaM−logaN；（4）log32+log36﹣log336＝log3（2×636）＝log313＝﹣1．26．（10分）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由；（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ba的值．【答案】（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；理由如下：；（2）ba=6−12=−12．【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；理由如下：（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；则ba=6−12=−12．