人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算一课一练，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，O是原点， OA,OC,AB 对应的复数分别为 -2 + i，3 + 2i，1 + 5i，那么 BC 对应的复数为( )
A. 4+7i B. 1+3i C. 4−4i D. −1+6i
2. 已知复数 2z−z=1−3i ，其中 i 是虚数单位， z 是 z 的共轭复数，则 z= ( )
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
3. 在复平面内，向量 AB 对应的复数是 2+i ，向量 CB 对应的复数是 1−3i ，则向量 CA 对应的复数对应的复平面上的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 复平面上三点 A,B,C 分别对应复数 1,2i,5+2i ，则由 A,B,C 所构成的三角形是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
5. 设 2z+z−3z−z=4+6i ，则 z= ( )
A. 1+2i B. 1−2i C. 1+i D. 1−i
6. 已知复数 z1,z2 和 z 满足 z1=z2=1 ，若 z1−z2=z1−1=z2−z ，则 z 的最大值为( )
A. 23 B. 3 C. 3 D. 1
7. 已知 z1,z2∈C,z1+z2=22,z1=2,z2=2 ，则 z1−z2= ( )
A. 1 B. 12 C. 2 D. 22
8. 已知复数 z 满足 z+i=z−i ，则 z+1+2i 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
二、多选题
9. 设复数 z1=2−i,z2=2i (i为虚数单位)，则下列结论正确的为( )
A. z2 是纯虚数 B. z1−z2 对应的点位于第二象限
C. z1+z2=3 D. z1=2+i
10. 设复数 z1=2+i,z2=−2i ( i 为虚数单位),则下列结论正确的为( )
A. z1=2−i B. z2 的虚部是 -2
C. z1−z2 对应的点位于第一象限 D. z1+z2=3
11. 已知复数 z0=1+2i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 P0 ，复数 z 满足 z−1=z−i ，下列结论正确的是( )
A. P0 点的坐标为 1,2
B. 复数 z0 的共轭复数对应的点与点 P0 关于虚轴对称
C. 复数 z 对应的点 Z 在一条直线上
D. P0 与 z 对应的点 Z 间的距离的最小值为 22
三、填空题
12. 已知复数 z1 ， z2 满足 z1=i ， z1−z2=3 ，则 z2 的最大值为_____.
13. 如图所示，在复平面内的四个点 O ， A ， B ， C 恰好构成平行四边形，其中 O 为原点， A ， B ， C 所对应的复数分别是 zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bia,b∈R ，则 zA−zC= _____.
14. 设复数 z 满足 z+2i+z−2i=4 ，则 z−1−i 的取值范围是_____.
四、解答题
15. 计算:
11+2i+3−4i−5+6i ;
(2) 5i−3+4i−−1+3i
(3) a−bi−2a+2bi−3ia,b∈R .
16. 已知复数 z 满足 z=12 ，求z−i的最大值与最小值.
17. 已知复数 z 满足 z2+2z−2i=0 .
(1)求 z ；
(2)比较 z+z+3i 与 2z+3i 的大小.
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：复数与复平面内向量一一对应，先求OB对应的复数：OB=OA+AB，对应复数为(−2+i)+(1+5i)=−1+6i。 BC=OC−OB，对应复数为(3+2i)−(−1+6i)=4−4i。
2. 答案：B
解析：设z=a+bi(a,b∈R)，则共轭复数z=a−bi。 代入等式：2(a+bi)−(a−bi)=1−3i，化简得a+3bi=1−3i。 由复数相等的充要条件：a=13b=−3，解得a=1b=−1，故z=1−i。
3. 答案：C
解析：CA=CB−AB=(1,−3)−(2,−1)=(−1,−4)，对应点为(−1,−4)，故选C
4. 答案：A
解析：三点对应复数1（A(1,0)）、2i（B(0,2)）、5+2i（C(5,2)）。 计算向量模长（边长）：|AB|=(1−0)2+(0−2)2=5，|BC|=(5−0)2+(2−2)2=5，|AC|=(5−1)2+(2−0)2=20=25。 验证勾股定理：|AB|2+|AC|2=5+20=25=|BC|2，故△ABC为直角三角形。
5. 答案：D
解析：设 z=a+bi，a、b 为实数，则 z=a−bi。
于是2(z+z)−3(z−z)=2(a+bi+a−bi)−3(a+bi−a+bi)
=4a−6bi=4+6i
故4a=4−6b=6 ，所以a=1b=−1
则 z=1−i。
故选D
6. 答案：B
解析：由|z1|=|z2|=1，|z1−z2|=|z1−1|，设z1=x+yi(x,y∈ℝ)，则x2+y2=1， |z1−z2|2=|z1−1|2⇒(x−x2)2+(y−y2)2=(x−1)2+y2，结合x22+y22=1，化简得x2+y2⋅yx−1=1（几何意义：z2在z1与(1,0)的垂直平分线上）。 又|z2−z|=|z1−1|，则z在以z2为圆心、|z1−1|为半径的圆上。 由|z1−1|的最大值为2（z1=−1时），结合圆的几何性质，|z|最大值为3。
7. 答案：D
解析：利用复数模长公式：|z1+z2|2+|z1−z2|2=2(|z1|2+|z2|2)。 代入已知：(22)2+|z1−z2|2=2(22+22)，即8+|z1−z2|2=16，解得|z1−z2|=22。
8. 答案：B
解析：设z=x+yi(x,y∈ℝ)，由|z+i|=|z−i|得x2+(y+1)2=x2+(y−1)2， 平方化简得y=0，即z为实数，对应复平面实轴。 |z+1+2i|=|x+1+2i|=(x+1)2+4，当x=−1时，最小值为4=2。
二、多选题
9. 答案：AD
解析：对于A：z2=2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；
对于B：z1−z2=2−3i，其在复平面上对应的点为(2,−3)，在第四象限，B错误；
对于C：z1+z2=2+i，则|z1+z2|=4+1=5，C错误；
对于D：z1=2−i，则z1=2+i，D正确。
10. 答案：ABC
解析：因为 z1=2+i，z2=−2i，
可知 z1=2−i，z2 的虚部是 −2，故AB正确；
又因为 z1−z2=2+3i，可知 z1−z2 对应的点为 (2,3)，位于第一象限，故C正确；
且 z1+z2=2−i，则 |z1+z2|=22+(−1)2=5，故D错误；
11. 答案：ACD
解析：
A：z0=1+2i对应复平面点P0(1,2)，正确；
B：z0=1−2i对应点(1,−2)，与P0关于实轴对称，不是虚轴，错误；
C：设z=x+yi，由|z−1|=|z−i|得(x−1)2+y2=x2+(y−1)2，化简得x−y=0，即z对应点在直线y=x上，正确；
D：P0(1,2)到直线y=x的距离为|1−2|12+(−1)2=22，此为距离最小值，正确。
三、填空题
12. 答案：4
解析：z1=i对应复平面点A(0,1)，设z2对应点B(x,y)，则|z1−z2|=3表示|AB|=3，即点B在以A(0,1)为圆心、3为半径的圆上。 |z2|表示点B到原点O(0,0)的距离，由几何意义：|OB|max=|OA|+3=1+3=4。
13. 答案：2−4i
解析：平行四边形中OA+OC=OB，对应复数：zA+zC=zB。 代入zA=4+ai，zB=6+8i，zC=a+bi： 4+ai+a+bi=6+8i，即(4+a)+(a+b)i=6+8i。 由复数相等：4+a=6a+b=8，解得a=2b=6。 故zA=4+2i，zC=2+6i，zA−zC=(4+2i)−(2+6i)=2−4i。
14. 答案：[1,3]
解析：设z=x+yi，|z+2i|+|z−2i|=4表示点(x,y)到(0,−2)和(0,2)的距离和为4， 而两点间距离为4，故点(x,y)在以(0,−2)、(0,2)为端点的线段上（x=0，−2≤y≤2）。 |z−1−i|=|x−1+(y−1)i|=(x−1)2+(y−1)2，代入x=0得1+(y−1)2。 当y=1时，最小值为1=1；当y=−2时，最大值为1+9=3，故取值范围为[1,3]。
四、解答题
15. 解：
(1)原式=(1+3−5)+(2−4−6)i=−1−8i；
(2)先去括号：5i−[(3+4i)−(−1+3i)]=5i−(4+i)=5i−4−i=−4+4i；
(3)原式=(a−2a)+(−b−2b−3)i=−a−(3b+3)i。
16. 解：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|=12得x2+y2=122，即z对应点在以原点为圆心、12为半径的圆上。 |z−i|=|x+(y−1)i|=x2+(y−1)2，几何意义为圆上点到点(0,1)的距离。 点(0,1)到圆心(0,0)的距离为1，则： 最大值：1+12=32，最小值：1−12=12。
17. 解：
(1)：设z=x+yi(x,y∈ℝ)，则|z|2=x2+y2， 代入等式x2+y2+2(x+yi)−2i=0，整理得(x2+y2+2x)+(2y−2)i=0。 由复数相等的充要条件： x2+y2+2x=02y−2=0，解得y=1，代入第一个方程： x2+1+2x=0⇒(x+1)2=0⇒x=−1，故z=−1+i。
(2)|z|=(−1)2+12=2；
z+3i=−1+i+3i=−1+4i，|z+3i|=(−1)2+42=17；
2z+3i=2(−1+i)+3i=−2+5i，|2z+3i|=(−2)2+52=29。
计算|z|+|z+3i|=2+17，比较(2+17)2与(29)2： (2+17)2=2+234+17=19+234，(29)2=29。 因234≈2×5.830=11.66>10，故19+234>29，即|z|+|z+3i|>|2z+3i|。