高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念课后作业题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=2i3−7 ，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知复数 z 满足 z−1=z−2 ，则 z ( )
A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值 32 D. 有最大值 32
3. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 −1,3 ，则 z 的共轭复数 z= ( )
A. 1+3i B. 1−3i C. −1+3i D. −1−3i
4. 已知复数 z=sinθ+i ，则满足 z≥2 的所有不相等的复数 z 之和的虚部为( )
A. 1 B. i C. 2 D. 2i
5. 在复平面内， O 是原点. 向量 OA 对应的复数为 12−32i ，其中 i 为虚数单位，若点 A 关于虚轴的对称点为 B ，则向量 OB 对应的复数的共轭复数为( )
A. 12+32i B. 12−32i C. −12+32i D. −12−32i
6. 已知复数 z 满足 z2−z+2=0 ，则 z= ( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
7. 欧拉公式 eix=csx+isinx ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为 “数学中的天桥” . 根据欧拉公式可知， e2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 集合 M={z∣z=t−1+t+1it∈R} ，下列命题中不正确的是( )
A. M∩R=⌀
B. 0∉M
C. 若 z∈M ，则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限
D. 若 z∈M,z=2 ，则 z 不一定是纯虚数
二、多选题
9. 若复数 z=2−2i ( i 为虚数单位)，则下列结论正确的有( )
A. z=22 B. z 的虚部为 -2i
C. z+z=4 D. z 在复平面内对应的点在第二象限
10. 已知复数 z1,z2 ，下列选项正确的是( )
A. 若 z1=z2 ，则 z12=z22
B. 若 z1z2=0 ，则 z1=0 或 z2=0
C. 若 z2+1=1 ，则 z2−1 的最小值为2
D. z1z2=z1z2
11. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是( ).
A. 复数 z=−2−i 的虚部为 −i
B. i+i2+i3+i4=0
C. z2=z2
D. 复数 z 满足 z=1 ，则 z−2−i 的最大值为 5+1
三、填空题
12. 复数5 + 10i 与3-4i分别表示向量 OA 与 OB ，则表示向量 AB 的复数为_____.
13. 已知复平面内复数 z=a+bi 对应的点在射线 y=xx≥0 上，且 z=1 ，则 z= _____.
14. 设 x∈R ，记 x 为不大于 x 的最大整数， {x} 为不小于 x 的最小整数. 设集合 A={z∣2≤z≤3,z∈C} ， B={z∣2≤{z}≤3,z∈C} ，则 A∩B 在复平面内对应的点的图形面积是_____
四、解答题
15. 已知复数 z=a+bia,b∈R 的共轭复数的模为5，且 3a=4b ，求 z .
16. 已知复数 z=m+1+2m−1im∈R
(1)若 z 为纯虚数，求实数 m 的值；
(2)若 z 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数 m 的取值范围及 z 的最小值.
17. 已知复数 z1=2sinθ−3i,z2=1+2csθi,θ∈0,π
(1)若 z1=z2 ，求角 θ ；
(2)复数 z1,z2 对应的向量分别是 OZ1,OZ2 ，其中 O 为坐标原点，求 OZ1⋅OZ2 的取值范围；
(3)复数 z1,z2 对应的向量分别是 a 、 b ，存在 θ 使等式 λa−b⋅a−λb=0 成立，求实数 λ 的取值范围.
7.1.2 复数的几何意义 标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：先化简复数，i3=−i，故z=2×(−i)−7=−7−2i。 复平面内复数z=a+bi对应点为(a,b)，因此z对应点(−7,−2)，位于第三象限。
2. 答案：C
解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z−1|=|z−2|得： (x−1)2+y2=(x−2)2+y2，平方后化简得x=32。 |z|=x2+y2=322+y2，当y=0时，|z|取最小值32，无最大值。
3. 答案：D
解析：复平面内点(−1,3)对应复数z=−1+3i。 共轭复数的定义：实部不变，虚部取相反数，故z=−1−3i。
4. 答案：C
解析：z=sinθ+i，则|z|=sin2θ+1≥2，平方得sin2θ≥1。 又sin2θ≤1，故sin2θ=1，即sinθ=±1。
当sinθ=1时，z=1+i；
当sinθ=−1时，z=−1+i。 所有不相等的复数和为(1+i)+(−1+i)=2i，虚部为2（注意：虚部是实数，不含i）。
5. 答案：D
解析：向量OA对应复数12−32i，对应点A12,−32。 点A关于虚轴的对称点B−12,−32，对应复数−12−32i，其共轭复数为−12+32i（实部不变，虚部取反）。
6. 答案：B
解析：设z=a+bi(a,b∈ℝ)，代入z2−z+2=0： (a+bi)2−(a+bi)+2=(a2−b2−a+2)+(2ab−b)i=0， 由复数相等的条件得a2−b2−a+2=02ab−b=0。 由2ab−b=0得b(2a−1)=0，分两种情况：
若b=0，则a2−a+2=0，无实数解；
若2a−1=0，即a=12，代入得122−b2−12+2=0，解得b2=74。 故|z|=a2+b2=122+74=2。
7. 答案：B
解析：由欧拉公式eix=csx+isinx，得e2i=cs2+isin2。 因为2弧度∈π2,π，故cs20，对应点(cs2,sin2)在第二象限。
8. 答案：A
解析：对于A，当t=0时，M∩R={−2}，A正确；
对于B，若z=0，则tt+1=0，此方程无解，所以B正确；
对于C，z=x+yi（x,y∈ℝ）∈M，则y=x+2，直线y=x+2过一、二、三象限，一定不过第四象限，故C正确；
对于D，当t=−1时，z=−2，满足|z|=2，但z=−2不是纯虚数，D正确。
故选：A。
二、多选题
9. 答案：AC
解析：z=2−2i，逐一分析：
A：|z|=22+(−2)2=22，正确；
B：复数的虚部是实数，z的虚部为−2，不是−2i，错误；
C：z=2+2i，故z+z=(2−2i)+(2+2i)=4，正确；
D：z对应点(2,−2)，在第四象限，错误。
10. 答案：BD
解析：逐一分析：
A：反例：z1=1，z2=i，|z1|=|z2|=1，但z12=1，z22=−1，不相等，错误；
B：设z1=a+bi，z2=c+di，则z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，得ac−bd=0ad+bc=0，解得a=b=0或c=d=0，即z1=0或z2=0，正确；
C：|z2+1|=1表示复平面内以(−1,0)为圆心，1为半径的圆，|z2−1|表示圆上点到(1,0)的距离，最小值为|1−(−1)|−1=1，错误；
D：复数模的性质：|z1z2|=|z1|⋅|z2|，正确。
11. 答案：BD
解析：逐一分析：
A：z=−2−i的虚部为−1，不是−i，错误；
B：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，正确；
C：反例：z=i，|z|2=1，z2=−1，不相等，错误；
D：设复数 z、2+i 在复平面内对应的点分别为 Z、A(2,1)。
因为 |z|=1，即 |OZ|=1（O 为坐标原点），所以点 Z 在标准单位圆 x2+y2=1 上。
可得|z−2−i|≤5+1
所以 |z−2−i| 的最大值为 5+1，故选项D正确
三、填空题
12. 答案：−2−14i
解析：向量与复数的对应关系：AB=OB−OA， 对应复数为(3−4i)−(5+10i)=−2−14i。
13. 答案：22+22i
解析：复数z=a+bi对应点(a,b)在射线y=x(x≥0)上，故b=a且a≥0。 又|z|=1，则a2+b2=2a2=1，解得a2=12，因a≥0，故a=22，b=22， 因此z=22+22i。
14. 答案：5π
解析：先明确取整定义：[x]为不大于x的最大整数，{x}为不小于x的最小整数。 集合A：2≤[|z|]≤3，即2≤|z|