数学必修 第二册复数的三角表示测试题

这是一份数学必修 第二册复数的三角表示测试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=csπ6+sinπ6i ( i 为虚数单位)，则 z3 等于( )
A. 1 B. -1 C. i D. −i
2. 复数 z1=1 ，在复平面内， z2 对应的向量由 z1 对应的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 π6 而得到，则 argz2z1 ( )
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
3. 法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的公式 csx+isinxn=csnx+isinnx 推动了复数领域的研究.根据该公式，可得 csπ10+isinπ1051−i= ( )
A. −1+i B. 1+i C. 1−2i D. −2−i
4. 将复数1+ i 对应的向量 OM 绕原点按逆时针方向旋转 π4 ，得到的向量为 OM1 ，那么 OM1 对应的复数是（ ）
A. 2i B. 2i C. 22+22i D. 2+2i
5. 复数 csπ3+isinπ3 经过 n 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则 n 的值等于( )
A. 3 B. 12 C. 6k−1k∈Z D. 6k+1k∈Z
6. 若 ω=−12+32i ，则 1+ω+ω2+ω3= ( )
A. 1 B. 3i C. -1 D. −3i
7. 复数 z=csπ15+isinπ15 是方程 x5+α=0 的一个根，那么 α 的值为( )
A. 32+12i B. 12+32i C. −32−12i D. −12−32i
二、多选题
8. 设复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，任意复数 z 都可以表示为三角形式 rcsθ+isinθ ，其中 r 为复数 z 的模， θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，以 OZ 所在的射线为终边的角(也被称为 z 的辐角). 利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现 rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈N∗ ，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数 z 满足 z5=32 ，则 z 可能的取值为( )
A. 2csπ10+isinπ10 B. 2cs2π5+isin2π5
C. 2csπ2+isinπ2 D. 2cs6π5+isin6π5
9. 任何一个复数 z=a+bi (其中 a,b∈R )都可以表示成: z=rcsθ+isinθ 的形式. 法国数学家棣莫佛发现:
zn=rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈N∗ ，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是 ( )
A. 当 r=1 ， θ=π4 时， z=22+22i
B. 当 r=1 ， θ=π4 时， z4=1
C. 当 r=1 ， θ=π4 且 n 为偶数时， zn 为实数
D. z4=z4
10. 把复数 z1 与 z2 对应的向量 OA,OB 分别按逆时针方向旋转 π4 和 5π3 后，重合于向量 OM 且模相等，已知 z2=−1−3i ，则复数 z1 的代数形式和它的辐角分别是( )
A. −2−2i,3π4 B. −2+2i,3π4
C. −2−2i,π4 D. −2+2i,11π4
三、填空题
11. 将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为_____.
12. 在复平面内，常把复数 z=a+bia,b∈R 和向量 OZ 进行一一对应. 现把复数 13+223i 对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转 π4 ，所得的向量对应的复数虚部为_____.
13. 任何一个复数 z=a+bia,b∈R 都可以表示成 z=rcsθ+isinθr≥0,θ∈R 的形式，通常称之为复数的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈Z ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 计算 1−3i2025= _____.
四、解答题
14. 计算:
(1) 3csπ6+isinπ6×2csπ6−isinπ6 ;
2−12+32i×csπ6−isinπ6.
15. 在复平面内，把与复数cs120°−isin120°对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转30°，所得向量对应的复数为 z ，求复数 z (用代数形式表示).
16. 在复平面内，把复数 − 1+i 对应的向量绕原点逆时针旋转 π4 后所得向量对应的复数为 z1 ，绕原点顺时针旋转 5π12 后所得向量对应的复数为 z2
(1)求复数 z1,z2 ；
(2)若复数 z=z1z2 ，求复数 z .
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：由棣莫佛定理，z3=cs3×π6+isin3×π6=csπ2+isinπ2=i。
2. 答案：B
解析：z1=1=cs0+isin0，z2由z1逆时针旋转π6得，故z2=csπ6+isinπ6。 z2z1=z2，则arg(z2z1)=arg(z2)=π6。
3. 答案：B
解析：根据棣莫弗公式：
csπ10+isinπ105=cs5×π10+isin5×π10=csπ2+isinπ2=i
因此：
csπ10+isinπ105(1−i)=i(1−i)=i−i2=i+1=1+i
4. 答案：B
解析：复数 1+i 的三角形式是 2csπ4+isinπ4，向量 OM1 对应的复数为：
2csπ4+isinπ4×csπ4+isinπ4=2csπ4+π4+isinπ4+π4
=2csπ2+isinπ2=2i
故选：B。
5. 答案：C
解析：原复数z=csπ3+isinπ3，其共轭复数z=csπ3−isinπ3=cs−π3+isin−π3=cs2kπ−π3+isin2kπ−π3(k∈Z)； 由棣莫佛定理，zn=csnπ3+isinnπ3，故nπ3=2kπ−π3，解得n=6k−1(k∈Z)。
6. 答案：A
解析：ω=−12+32i=cs2π3+isin2π3，由棣莫佛定理，ω3=cs2π+isin2π=1； 且ω2+ω+1=0（三次单位根性质，教材拓展结论），故1+ω+ω2+ω3=0+1=1。
7. 答案：D
解析：z=csπ15+isinπ15是x5+α=0的根，故z5=−α； 由棣莫佛定理，z5=cs5π15+isin5π15=csπ3+isinπ3=12+32i； 因此α=−z5=−12−32i。
二、多选题
8. 答案：BD
解析：z5=32=32(cs0+isin0)，设z=r(csθ+isinθ)，由棣莫佛定理： r5(cs5θ+isin5θ)=32(cs0+isin0)，故r5=32⇒r=2，5θ=2kπ⇒θ=2kπ5(k∈Z)。
A：θ=π10，不满足θ=2kπ5，排除；
B：θ=2π5，k=1，符合；
C：θ=π2，不满足，排除；
D：θ=6π5，k=3，符合。
9. 答案：ACD
解析：逐一验证：
A：r=1，θ=π4时，z=csπ4+isinπ4=22+22i，正确；
B：z4=cs4×π4+isin4×π4=csπ+isinπ=−1≠1，错误；
C：n为偶数，设n=2k，则zn=cs2kπ4+isin2kπ4=cskπ2+isinkπ2，当k为整数时，sinkπ2=0（k偶）或cskπ2=0（k奇），均为实数，正确；
D：|z|4=r4，|z4|=|r4(cs4θ+isin4θ)|=r4，故|z|4=|z4|，正确（复数模的性质，教材基础结论）。
10. 答案：BD
解析：由题意可知：
z1csπ4+isinπ4=z2cs5π3+isin5π3
又 z2=−1−3i=2cs4π3+isin4π3，
则：
z1=z2cs5π3+isin5π3csπ4+isinπ4=2cs4π3+isin4π3cs5π3+isin5π3csπ4+isinπ4
=2cs4π3+5π3−π4+isin4π3+5π3−π4=2cs11π4+isin11π4
=2cs3π4+isin3π4=−2+2i
可知 z1 对应的坐标为 (−2,2)，它的辐角主值为 3π4， 故可以作为复数 −2+2i 的辐角的是 3π4+2kπ, k∈Z。
当 k=1 时：
3π4+2π=11π4
故选：BD。
三、填空题
11. 答案：2
解析：1+i=2csπ4+isinπ4，顺时针旋转45∘（即π4），辐角减π4，得： 2cs0+isin0=2×1=2。
12. 答案：26
解析：设原复数z=13+223i，模r=132+2232=1，故z=csθ+isinθ（csθ=13，sinθ=223）； 顺时针旋转π4，新复数z′=csθ−π4+isinθ−π4； 由两角差公式，虚部为： sinθ−π4=sinθcsπ4−csθsinπ4=22223−13=22×4−16=26。
13. 答案：−22025
解析：因为
1−3i=212−32i=2cs−π3+isin−π3,
所以
(1−3i)2025=22025cs−2025π3+isin−2025π3
=22025cs(−675π)+isin(−675π)
=22025csπ+isinπ=−22025.
四、解答题
14. 解：
（1）将csπ6−isinπ6化为cs−π6+isin−π6，由三角形式乘法法则： 原式=3×2csπ6−π6+isinπ6−π6=6(cs0+isin0)=6×1=6。
（2）将−12+32i化为cs2π3+isin2π3，csπ6−isinπ6=cs−π6+isin−π6； 由乘法法则： 原式=cs2π3−π6+isin2π3−π6=csπ2+isinπ2=i。
15. 解：
步骤1：将cs120∘−isin120∘化为三角形式：cs(−120∘)+isin(−120∘)（或cs240∘+isin240∘，辐角主值）；
步骤2：顺时针旋转30∘，辐角减30∘，得新辐角：−120∘−30∘=−150∘；
步骤3：新复数z=cs(−150∘)+isin(−150∘)=cs150∘−isin150∘；
步骤4：化为代数形式：cs150∘=−32，sin150∘=12，故z=−32−12i。
16. 解：
（1）先将−1+i化为三角形式：−1+i=2cs3π4+isin3π4，模r=2，辐角主值3π4。
z1：逆时针旋转π4，辐角加π4，得： z1=2cs3π4+π4+isin3π4+π4=2(csπ+isinπ)=2×(−1)=−2。
z2：顺时针旋转5π12，辐角减5π12，得： 辐角：3π4−5π12=9π−5π12=4π12=π3； z2=2csπ3+isinπ3=212+32i=22+62i。
（2）将z1=−2化为三角形式：−2=2(csπ+isinπ)； z2=2csπ3+isinπ3，由三角形式除法法则： z=22csπ−π3+isinπ−π3=cs2π3+isin2π3； 化为代数形式：z=−12+32i。