人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质表格教案设计

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函数的单调性
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义。
2.会根据单调定义证明函数单调性。
3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点：理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义．
教学难点：归纳并抽象出函数单调性的定义；并用定义判断函数的单调性。
教学过程
教学
环节
主要师生活动
复习
回顾
老师引入语：在前面的学习中，我们已经学习函数的定义，在上课之前我们一起来回顾一下。
老师：一般地,设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于
集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称
为从集合到集合的一个函数.记作.
板书或课件展示如下图表：
我们在学习集合时，学习了一种特殊的集合，叫做区间，区间分为开区间和闭区间。板书或课件展示如下概念;
设是两个实数，而且.
(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为.
(2)满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为.
(3)满足不等式或实数x的集合叫做半开半闭区间，分别
表示为,.
(4)实数集R可以用区间表示为,“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”．
我们函数中的自变量和因变量的取值范围都可以用一个区间来表示并称之为定义域和值域。而自变量和因变量是函数的两个重要量，他们之间的变化关系有着怎么样的联系，这是需要我们去探究的一个重要层面，接下来请大家跟着老师，一起来学习本节课吧。
设计意图：通过对函数概念的复习，为本节课的知识提供理论基础，帮助学生更好地理解本节课知识和快速地融入课堂。
课堂
导入
老师：这是艾宾浩斯遗忘曲线，如何用数学语言来描述这一类现象的变化趋势呢？

学生： 随着时间间隔逐渐增大，记忆的数量逐渐变小。“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线。

老师：通过观察2012-2024年中国人均GDP趋势图和第9-14届亚运会中国金
牌情况统计图，同学们发现随着时间的推移，相应的函数值发生了什么样的变化？
学生：第一幅图，随着时间的推移，人均GDP在逐渐增加，第二幅图，中国
金牌获得情况在第9届至第11届在逐渐增加，第11届至第13届有所下降，第14届回升。
现实世界中，具有上升下降规律的数据还有很多。研究函数中因变量和自变
量的变化同样有助于我们对函数性质和整体的一个把握。
老师提问：观察下列各个函数图象，你能发现它们可以反映出函数的哪些性质吗？
展示几何画板函数图像生成动画。
学生：函数的自变量和因变量变化之间的联系，第一个函数增大减小，第二个函数增大减小，第三个函数增大先减小再增大。
老师：同学们观察的真仔细，这种随着的变化而变化的性质我们就叫函数的单调性，也是本节课的主要学习内容。
我们先研究二次函数，请大家在纸上画出函数，并通过它的函数图像描述它的单调性。并利用信息技术动态演示变化情况。
在y轴左侧，图象下降的；在y轴右侧，图象上升的；
即当>0时，即随着的增大而增大.即当≤0时，即随着的增大而减小；
设计意图：通过几何画板演示函数图像的生成过程，让学生能够更加直观的感受函数的单调性性质，通过信息多媒体技术吸引学生，有利于提高学生学习的兴趣，增加课堂活跃性。
形成定义
问题
探讨
老师提问：仿照,用符号语言刻画函数和各有
怎样的单调性？
要求：（1）画出函数图像
用数学语言描述函数单调性

学生回答：符号语言：(1)任意取,当时，有.函数在区间上是单调递减的.(2)任意取,当时，有.函数在区间上是单调递增的.
学生回答：符号语言：(1)任意取,当时，有.
函数在区间上是单调递减的.(2)任意取,
当时，有.函数在区间上是单调递增的.
老师追问：我们已经能够大致的用符号语言来描述函数的单调性了，那接下来请大家来动动脑筋，来思考这样一个问题：
问题5 设是区间上的自变量的某些值组成的集合，而且,当，都有，则可以说函数在区间上单调递增吗？试举例说明。
学生自由讨论。
老师解答：对于函数，取区间,集合,则，当，都有.但在上并
不单调递增.
设计意图：通过提问式的方式，一步步的引导学生深入了解单调性的定义以及特殊情况。
例题
精讲
例1 根据定义，研究函数的单调性。
老师引导:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较和的大小？
那如何比较和的大小呢？
老师引导：分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是．
老师引导：根据实数大小关系的基本事实，只要考察与的大
小关系．
学生：函数的定义域是,，且，则.由，得．
所以
①当时，．于是,，即
这时，是增函数．
②当时，．于是,，即．这时，是减函数．
老师总结：定义法判断函数单调性的四个步骤:
（1）取值；（2）作差；（3）定号；（4）下结论.
例2：根据定义证明函数在区间上单调递增．
老师引导：遇到分式可以采取通分然后判断符号的方法.
学生：证明：，且，有 ．
由，得．
所以．
又由，得．
于是，
即.
所以函数在区间上单调递增．
设计意图：通过例题1引导学生学习用定义法学习判断函数的单调性并总结方法和步骤，通过例题2引导学生学习在判断单调性时需要注意的问题,使学生增强实际应用能力。
练习
巩固
习题：
函数单调性的证明和判断
证明函数在上是增函数
由学生自主练习并选择学生作业进行展示。
证明：，,
课堂
小结
老师总结：本节课我们学习了函数的单调性的定义以及怎么去判断函数的单调性，接下来一起来复习总结一下吧。
一般地，设函数的定义域为，区间为.如果,当
时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.就叫做函数的
单调递增区间，简称减区间.
定义法判断函数单调性的四个步骤:
（1）取值；（2）作差；（3）定号；（4）下结论.
课后
作业
课本P79 练习1,2题
课后
反思
通过本次教学，我认识到在函数单调性部分的教学中，应注重以下几点：
加强概念的理解。函数单调性是一个较为抽象的概念，需要通过具体例子
和图形帮助学生理解。在今后的教学中，我将更加注重概念的引入和解释，确保学生能够准确掌握。
强化练习与巩固。单调性的判断需要一定的技巧和实践经验，因此需要通
过大量的练习来巩固所学知识。我将适当增加练习题的数量和难度，让学生在实践中逐步掌握判断方法。
针对不同学生因材施教。由于学生的基础和能力存在差异，因此在教学中
需要针对不同学生的特点进行因材施教。对于基础较差的学生，我将加强基础知识的讲解和练习；对于能力较强的学生，我将引导他们深入探究单调性的应用和价
值。