人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算当堂检测题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 复数加、减法的代数运算
题型2：复数的加、减法几何意义
题型3：根据复数加、减运算结果求参数
题型4：与复数的模的几何意义有关的应用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法满足的运算律
对任意，有
交换律：
结合律：
（3）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
知识点2：复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
知识点3：()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
二、重点题型分类研究
题型1: 复数加、减法的代数运算
典型例题
例题1．在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限，故选:B
例题2．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．
【答案】##
【详解】.故答案为：.
例题3．若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【详解】解：，因为复数在复平面上所对应的点在第二象限，所以，解不等式组得，故答案为：
例题4．化简下列复数
（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）.
（2）.
同类题型演练
1．若(，是虚数单位)，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，即，所以，所以.故选：B.
2．在平行四边形中,对角线与相交于,若向量,对应的复数分别是,,则对应的复数是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】 由题意可得，在平行四边形中，则，所以对应的复数为，故选D．
3．______．
【答案】
【详解】.故答案为：
题型2：复数的加、减法几何意义
典型例题
例题1．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为，，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.
例题2．复平面上有、、三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______．
【答案】
【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．
例题3．设向量及在复平面内分别与复数及复数对应，试计算，并在复平面内表示出来
【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.
【详解】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示，
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
例题4．已知平行四边形中，与对应的复数分别是与，两对角线与相交于点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求的面积.
【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.
【详解】由题意，画出平行四边形如下图示
（1）在平行四边形ABCD中，有
∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i即对应的复数是－2＋2i
（2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5即对应的复数是5
（3）∵
∴，而，，即
∴cs∠APB＝，故sin∠APB＝，故
即的面积为
同类题型演练
1．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．
【答案】5
【详解】依题意得对应的复数为，所以A，C两点间的距离为．故答案为：5．
2．在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.
【答案】
【详解】因为向量，对应的复数分别是，，所以
故答案为：
3．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．
【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；
（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；
（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．
4．在复平面内，分别对应复数，以AB,AC为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.
【答案】z4＝7＋3i，
【详解】如图所示：
对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，
得，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1).
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为＝.
题型3：根据复数加、减运算结果求参数
典型例题
例题1．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
例题2．若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)，依题意有+x+yi=3+i，
因此解得故z=+i.故选：C.
例题3．（多选）若，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】设，则，由题意可得
解得或所以或．故选：AC
例题4．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______．
【答案】
【详解】由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得，解得，故答案为：.
同类题型演练
1．若，则的实部可能是（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】A
【详解】设，因为，所以，得，所以，
所以，则的实部，故选：A
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.
3．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
【答案】A
【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是.故选：A
4．，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，故，故，故.
故选：.
题型4：与复数的模的几何意义有关的应用
典型例题
例题1．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线B．是直角三角形
C．是等边三角形D．以上都不对
【答案】B
【详解】解：设，则，故，
因为，所以，所以，所以或，
故或，当时，，当时，，
所以，所以是直角三角形，故、、三点不共线且不是等边三角形.
故选：B.
例题2．根据复数加法的几何意义，证明：．
【详解】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；
若向量，不是零向量且共线时，显然成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量，不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.
综上：.
同类题型演练
1．（多选）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．若，则存在实数，使得
D．若，则
【答案】AC
【解答】对A，即，两边平方可得，A对；
对，取，则，当，B错；
对，即，两边平方可得，
故，故，因此存在实数，使得，C对；
对，取，但，D错.故选：AC
2．（多选）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】AD
【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；
B：等价于，即共线，不符合；
C：等价于，但不一定有，不符合；
D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合.
故选：AD
三、高考（模拟）题体验
1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意得，， ，，
复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：．
2．在复平面内，复数对应的点在第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：依题意设，且，，所以，因为，所以，解得或（舍去）；所以；故选：A
3．设，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【详解】解：因为，所以，所以；故选：C
4．复数满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，，，解得：，.故选：D.
5．设，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】设，则，所以，，故，，则，因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.
6．若复数z的共轭复数是，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，不妨假设 ，则 ，且 ， ， ， ；
故选：C.
7．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.
8．已知复数为虚数单位，则_________.
【答案】
【详解】因为复数，所以，且，
所以，
故答案为：.