2020-2021学年7.2 复数的四则运算课时练习

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义  (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：复数代数形式的加法运算及其几何意义

（1）复数的加法法则

    设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

（2）复数加法满足的运算律

对任意，有 

交换律：

结合律：

（3）复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：

，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.

知识点2：复数代数形式的减法运算及其几何意义

（1）复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

      ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

（2）复数减法的几何意义

复数                        向量

知识点3：()的几何意义

在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.

二、重点题型分类研究

题型1: 复数的加、减运算

1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，为实数，若，求

【答案】.

【详解】

，

所以，

解得， ，

所以，，

则，所以．

2．（2022·全国·高一课时练习）如图，，定点、、分别表示0、、．求：

（1）、分别所表示的复数；

（2）对角线所表示的复数；

（3）点所对应的复数．

【答案】（1）、分别所表示的复数为、；（2）；（3）．

【详解】

(1) ，所以所表示的复数为－3－2i.

因为，所以所表示的复数为－3－2i.

(2) ，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3) ，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

即B点对应的复数为1＋6i.

3．（2022·全国·高一课时练习）已知，.设，且，求、.

【答案】，

【详解】

由题设可得，而，，

故，解得，

故，.

4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.

（1）若，求，；

（2）若，为实数，求，的值.

【答案】（1），（2）

【详解】

（1）∵，，

所以，，

所以，

又，

∴，∴，

∴，.

（2）由（1）得，，

∵，为实数，

∴，∴.

题型2：复数的加、减运算的几何意义

1．（2022·北京市第五中学高一期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】

由图可知，

所以，

因此，

所以在复平面内所对应的点为，在第三象限，

故选：C.

2．（2022·全国·高一课时练习）在复平面内，，对应的复数分别为，，则对应的复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以，，故＝－，所以对应的复数为－1－5i.

故选：A.

3．（2022·全国·高一单元测试）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵ ，

∴ 对应的复数为：，

∴点对应的复数为．

故选D．

4．（2018·湖南·高三阶段练习（文））若复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

复数，

由复数运算可得，

在复平面内对应的点为，

所以对应的点在第一象限，

故选:A

5．（2022·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.

【答案】，

【详解】

因为,分别表示复数,,

所以表示的复数为,即点表示的复数为,

又,所以表示的复数为,即点表示的复数为

6．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形的顶点，，对应的复数分别为0，，，其中为虚数单位.

(1)求对应的复数.

(2)求对应的复数；

(3)求对应的复数.

【答案】(1)；(2)；(3).

【详解】

(1)因为，所以表示的复数为.

(2)因为，所以表示的复数为.

(3)，所以对应的复数为.

题型3：与复数的模的几何意义有关的应用

1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二期中）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

设复数，满足.

（1）若_________________，求，；

（2）若，求.

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）

【详解】

选①，

设

所以联解得或

②，

设

所以

联解得或

③，

设

所以

联解得

若，

不妨设

所以，联解得    

2．（2022·广东湛江·高一期末）设复数，，且它们在复平面上对应的点分别为，，.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1），；（2）.

【详解】

解：（1）因为，

所以.

又因为，

所以，.

（2）因为，

所以.

由（1）知，

所以，

所以.

3．（2022·浙江·高一期中）已知复数，复数，其中是虚数单位，．

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）5．

【详解】

（1）因为，，所以，

所以；

（2）因为，而，，

所以，即，则.

4．（2020·上海·高二课时练习）设复数，满足，，，求.

【答案】

【详解】

设复数,在复平面内所对应的点分别是，

向量，的夹角为,则向量的夹角为，

在中，，即.

在中，，

∴.

5．（2020·全国·高一专题练习）已知，，，，求.

【答案】

【详解】

解：如图，设对应的复数为，对应的复数为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，向量表示的复数为,,则为等边三角形,,则,,表示的复数为,.