高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算课后复习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 复数的乘、除运算
题型2：复数的乘方
题型3：与共轭复数有关的运算
题型4：根据复数的乘法运算结果求参数
题型5：根据复数的除法运算结果求参数
题型6：复数范围内的解一元二次方程问题
题型7：复数四则运算的创新应用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数乘法满足的运算律
复数乘法的交换律、结合律、分配律
(交换律)
(结合律)
(分配律)
知识点2：复数代数形式的乘方
（1）复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
（2）复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：
①
②
③
知识点3：共轭复数的性质
设，（）
①
②为实数
③且为纯虚数
④
⑤，，
知识点4：复数代数形式的除法运算
（1）定义
规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
二、重点题型分类研究
题型1: 复数的乘、除运算
典型例题
例题1．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】 在复平面内对应的点在第三象限,, 即 .
实数 的取值范围是 .故选：A.
例题2．若（，为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，故，故，则.
故选：B.
例题3．已知复数满足，则 _________________；
【答案】
【详解】因为，所以,即
例题4．计算．
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3），，，
原式.
同类题型演练
1．已知，则=（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【详解】由可得，所以解得，所以，故选:D.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】．故选：D．
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.故选：D
4．已知复数z满足，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【详解】由，得，所以，故选：A
5．计算．
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）；
（2）
题型2：复数的乘方
典型例题
例题1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．故选：C
例题2．复数满足，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可得，则，∴．
故选：D.
例题3．已知是虚数单位，则___________．
【答案】
【详解】因为，，
所以，故答案为：.
例题4．计算：______．
【答案】1
【详解】故答案为：1
同类题型演练
1．已知是虚数单位，则的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】，故其虚部为，故选：D.
2．已知复数（i是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．
3．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D
4．计算：______．
【答案】
【详解】
故答案为：
题型3：与共轭复数有关的运算
典型例题
例题1．若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，故.故选：A
例题2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得，因此，.故选：A.
例题3．设复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数为______．
【答案】##
【详解】因为，所以，故.
故答案为：.
例题4．设复数,则的虚部是______.
【答案】
【详解】解：因为，，
所以，所以，
故的虚部是故答案为：
同类题型演练
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为复数满足，所以
所以，所以.故选：B
2．已知复数，i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，所以，所以.故选：A．
3．复数的共轭复数______.
【答案】##
【详解】，所以，故答案为：
4．若复数满足，则_______________.
【答案】
【详解】
故答案为：
题型4：根据复数的乘法运算结果求参数
典型例题
例题1．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由复数的乘法运算可知，，因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.故选：B.
例题2．若复数满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
详解：由，可得，即，可得，所以，所以.故选：C
例题3．已知复数．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值，
【答案】(1)或(2)
(1)解：由复数，可得，
所以，解得或．
(2)解：由复数，可得，
所以当时，有最小值，最小值为.
同类题型演练
1．已知，且，则复数______．
【答案】##
【详解】设，则，即，
又，所以，即，所以.所以.
故答案为：.
2．已知，如果，求实数a，b的值.
【答案】，
【详解】由，把代入得，∴，
∴，∴，解得.
3．已知复数，实数a，b满足，求a，b的值．
【答案】或.
【详解】由已知可得,整理可得：.
∴,解得或.
题型5：根据复数的除法运算结果求参数
典型例题
例题1．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【详解】由题意可得，故，解得 ，故选：A
例题2．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，所以，解得，故选：B.
例题3．已知复数，，其中是正实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，求的值．
【答案】(1)2(2)2
（1）解：∵，，，
∴，从而，解得，所以实数a的值为2．
（2）依题意得：，
因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．
同类题型演练
1．若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，因为复数的实部和虚部相等，
所以，解得，所以．故选：C．
2．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________．
【答案】
【详解】因为复数为纯虚数，所以，.
故答案为：-3.
3．若复数是纯虚数，则实数__________．
【答案】1
【详解】解：∵ = =为纯虚数，∴a+1≠0且a-1=0，
∴a=1，故答案为 a=1．
题型6：复数范围内的解一元二次方程问题
典型例题
例题1．已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25B．5C．D．41
【答案】C
【详解】因为复数是关于的方程的一个根，所以，所以，所以，所以，则，故选：C.
例题2．若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________.
【答案】3
【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，∴ ，.故答案为：
例题3．已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
【答案】
【详解】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.
同类题型演练
1．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则______．
【答案】0
【详解】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，
则，即，，.故答案为：0
2．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．
【答案】19
【详解】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，
所以，解得，所以，
故答案为：19
3．若实系数方程的一个根是，则__________．
【答案】1
【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，
根据韦达定理可得，所以.又，所以，所以
故答案为：.
题型7：复数四则运算的创新应用
典型例题
例题1．在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则向量的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，，
.故选：B
例题2．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，，，
，.
甲，乙，丙，丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B
例题3．现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，，推导过程见解析.
【详解】（1）证：设（、）.
左
右
左=右，证毕.
（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.
设（、），则，即.
当，时，解得，，.∴，故，当，时，.
例题4．设虚数、满足.
（1）若、是一个实系数方程的两根，求、；
（2）若，，复数，求的取值范围.
【答案】（1），（2）
【详解】解:(1)因为、是一个实系数方程的两根,所以由“共轭虚根定理”知.
设,则,
因为,所以,所以,
由“复数相等的充要条件”得,所以,.
所以,;
(2)由,得,所以.
又,所以,
所以.
因为,所以,,所以.
同类题型演练
1．在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
【答案】（2）（3）
【详解】，所以（1）错误.
，，所以（4）错误.
设，
.
，所以（2）正确.
，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）
2．已知复数，，其中i是虚数单位，．
(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；
(2)求的值域．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，
则，解之得则，，
则，
（2），，则，
由，可得
则的值域为．
3．已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若一根为，求，的值；
（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；
（3）设，是虚数根，记，， 在复平面上对应点分别为，B，，求的值．
【答案】（1），；（2），；（3）.
【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
（2）设模为1的虚根为，，，且，
则实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
又，所以，故，.
（3）若，则方程的根为，.
若，则，，则，，.
所以；
若，则，，则，，.
所以.
故.
4．设复数，满足．
（1）若，满足，求，；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；
（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），或，；（2）或；（3）存在常数满足条件，．
【详解】（1）设，由得到，
，，
，，解得或，
故或；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，则
设，则由题意得，，解得或，
故或；
（3）设，则，
由得，
，
故.
三、高考（模拟）题体验
1．若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【详解】由题意有，故．故选：B．
2．设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】故选 ：C
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，故选：D.
5．若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以．故选：D.
6．若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】由题设有，故，故，故选：D
7．已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】##
【详解】．
故答案为：．