人教A版 (2019)必修 第二册复数的三角表示达标测试

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 复数三角形式的判断和变形
题型2：复数的辐角的主值
题型3：复数的代数形式转为三角形式
题型4：复数三角形式化为代数形式
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
知识点2：复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
知识点3：三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
二、重点题型分类研究
题型1: 复数三角形式的判断和变形
典型例题
例题1．复数化成三角形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设复数的模为，则，，所以复数的三角形式为．故选：A.
例题2．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)不是三角形式，
(3)不是三角形式，z3＝2[cs(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
(1)解：符合三角形式的结构特征，是三角形式．
(2)解：由“加号连”知，不是三角形式．，
模，.复数对应的点在第三象限，所以取，所以；
(3)解：由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cs θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cs θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．
所以z3＝－2(cs θ＋isin θ)＝2[cs(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
同类题型演练
1．若，则的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，辐角主值为，则其三角形式为.故选：C.
2．下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.
题型2：复数的辐角的主值
典型例题
例题1．已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为___________.
【答案】##
【详解】解：因为，，所以，
所以复数z的辐角主值为.故答案为：.
例题2．若，，，则______.
【答案】
【详解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，∴argz1＋argz2＋argz3∈.∴argz1＋argz2＋argz3＝.故答案为：
例题3．求复数的模与辐角．
【详解】，，故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
例题4．已知.
(1)当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
(2)若，求(用表示).
【答案】(1)当时， 取最大值为2 ，
(2).
(1)由复数模的定义可得：
，
显然当 时最大，即 ， 最大值为 ；
(2)设
，
实部为 ，虚部为， ，
∴当 即 时， ，
此时复数z对应的点在第四象限， ， ，
当 即，，此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），，∴ ，∴ ；
综上，当时， 最大，最大值为，.
同类题型演练
1．若复数（为虚数单位），则___________.
【答案】
【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，则，故答案为：
2．已知，则的辐角主值为________．
【答案】
【详解】，
的辐角主值为.故答案为：.
3．复数的辐角主值为________.
【答案】
【详解】因为,所以所以,所以复数z的辐角主值为.故答案为：
4．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【详解】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
题型3：复数的代数形式转为三角形式
典型例题
例题1．复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，
则，，所以，即所以．
故选：D
例题2．复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：
故选：C.
例题3．复数的三角形式为___________．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
例题4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)，图见详解
(2)，图见详解
(3)，图见详解
(4)，图见详解
【详解】（1）设复数的模为，辐角主值为．6对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
（2）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
（3）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
（4）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
同类题型演练
1．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A
2．已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题知，的三角形式是，结合诱导公式知，，
故选：B
3．以下不是复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD
4．将下列复数化为三角形式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
（1）
（2）
（3）
（4）.
题型4：复数三角形式化为代数形式
典型例题
例题1．设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：因为
所以
所以的共轭复数是，故选：C
例题2．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4； （2）2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝.
.
（2），
复数的模为2，辐角的主值为θ＝，.
同类题型演练
1．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A．B．
C．－iD．＋i
【答案】D
【详解】
故选:D.
2．将复数z＝化为代数形式为________．
【答案】1－i
【详解】z＝．故答案为：1－i
3．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.
【答案】
【详解】与所得向量对应的复数为
=.
三、高考（模拟）题体验
1．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】解：由己知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．
2．（多选）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，
因为，所以，即，
所以，故选：AD.
3．（多选）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；
对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.