人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算同步练习题

7.2.2 复数的乘、除运算  (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（重庆市西南大学附属中学校、重庆外国语学校2022届高三上学期“一诊”模拟联合数学试题）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

故选：C

2．（2022·江苏苏州·高三期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

为纯虚数，

，，

故选:A．

3．（2022·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

为纯虚数，

，，

故选：C.

4．（2022·河南省直辖县级单位·一模（理））若复数满足，则的共轭复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

因为

所以

所以

，对应的点在第一象限

故选：A.

5．（2022·湖南株洲·一模）已知，其中，，是虚数单位，若复数，则复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由得： ，

则 ，故 ，

故选：A.

6．（2022·湖北宜城·高三阶段练习）若复数，则的实部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以的实部为，

故选：A

7．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数，，以下四个式子均恒成立，对于非零复数，，下列式子仍然恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

不妨令，，

选项A：，

从而，故A正确；

选项B：，

当，时，，故B错误；

因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD错误.

故选：A

8．（2022·全国·高一）设复数，满足，，则的最大值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】

解：设，，其中a，b，c，d都是实数，

所以①，②.

又，所以，

所以③，④.

由①+②-③×2，得，所以，.

所以，由①知，故.

故选：B.

二、填空题

9．（2022·上海·复旦附中高二期末）化简：___________.

【答案】

【详解】

解：因为，，，所以

故答案为：

10．（2022·上海静安·一模）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则的取值范围是________．

【答案】

【详解】

因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，

所以，

即，即 ，

解得 ，

所以m的取值范围是，

故答案为：

11．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数______．

【答案】

【详解】

由题设，为纯虚数，

∴，可得.

故答案为：.

12．（2022·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程有两个虚根，，若，则的值是___________.

【答案】

【详解】

因，是方程有两个虚根，设，则，

由得：，解得，

又，即，因，

于是得：，解得，，

所以m的值是.

故答案为：

三、解答题

13．（2022·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数，.

（1）求；

（2）若满足为纯虚数，求.

【答案】

（1）（2）

（1）

．

（2）

因为为纯虚数，∴，∴.

即，．

14．（2022·广西河池·高二阶段练习（文））（1）已知，，，.问以上4个复数对应的点是否在同一个圆上？

（2）设.

（i）求，；

（ii）求.

【答案】（1）四点不共圆；  （2）（i），；（ii）.

【详解】

（1）由题意，复数，，，，

根据复数的几何意义，可得复数对应的分别为，

设经过三点的圆的方程为，

可得，解得，

所以圆的方程为，即，

其中点不适合圆的方程，即点不在圆上，

所以四点不共圆.

（2）由，可得，

，

则，

又由，

可得，且是以为周期的循环，

所以.

B应考能力

15．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知，是复数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

设，,

当，即时， ，

所以

取，，,,则满足，但显然不满足

所以“”是“”的充分不必要条件

故选：A

16．（2022·上海市徐汇中学高二期末）设复数对应的向量分别是、，则下列判断中，不正确的个数是（    ）

① 复数对应的向量是               ② 若，则

③ 若向量、的夹角为，则  ④

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

解：设，，所以，，所以，，所以复数对应的向量是，故①正确；

若，即，所以，即，故②正确；

，所以，而，所以，故④错误；依题意，故③错误；

故选：B

17．（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（    ）

A．如果，则，互为共轭复数

B．如果复数，满足，则

C．如果，则

D．

【答案】D

【详解】

对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；

对于B，设（，），（，）．

由，得，

则，而不一定等于，故错误；

对于C，当时，有，故错误；

对于D，设，，则，正确

故选：

18．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.

（1）若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；

（2）若，求实数a的值.

【答案】

（1），

（2）或

（1）

解：若该方程没有实根，

则，解得，

由，得，

所以，即，

所以在复数范围内对；

（2）

解：当，即时，

则都是实数，

由韦达定理可知，

故都是非负数，

所以，所以；

当，即时，方程有两个共轭虚根，设为，

则，

故，解得或（舍去），

综上所述，或.

C新素养 新题型

19．(多选)（2022·全国全国·模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ）

A．对任意的，

B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的实部为

D．与互为共轭复数

【答案】ABD

【详解】

对于A选项，，A正确；

对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；

对于C选项，，实部为，C错误；

对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.

故选：ABD.

20．(多选)（2022·江苏赣榆·高二期中）已知复数的共轭复数为，则下列表达式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

设，，则

，，A对，

，，B对，

，

，D对，

取，，则，，C错，

故选：ABD.

21．(多选)（2022·全国·高一单元测试）下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若复数，满足，则

C．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等

D．“”是“复数是虚数”的必要不充分条件

【答案】AD

【详解】

若，则，故A正确；

设，

由，可得

则，而不一定为0，故B错误；

当时为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；

若复数是虚数，则，即

所以“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

故选：AD

22．（2022·河北·张家口市第一中学高一期中）已知实系数一元二次方程的一个根，那么___________，___________.

【答案】       

【详解】

由题意可知，实系数一元二次方程的两个虚根分别为和

由韦达定理得，解得

故答案为：