高中数学人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质同步测试题，文件包含人教A版必修一数学高一上册同步讲与练21等式性质与不等式性质原卷版docx、人教A版必修一数学高一上册同步讲与练21等式性质与不等式性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．判断正误．
（1）若，则一定成立．( )
（2）若，则．( )
（3）若，则．( )
【答案】 错误 正确 错误
（1）当时，若，则，故该结论错误；
（2）∵，∴，∴，故该结论正确；
（3）当时，满足，但不满足，故该结论错误．
2．下列命题正确的是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
对于选项A，∵，∴，又，∴成立，故A选项正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误；
对于选项C，当时，，所以结论错误；
对于选项D，当时，，所以结论错误．
3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
由题可得，
整理得
故选：D．
4．设，则m，n的大小关系是___________．
【答案】
∵
∴
故答案为：
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：比较两个代数式的大小
典型例题
例题1．已知，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
2．若，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
因为
，
所以，
故选：B
同类题型演练
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
对于A：因为，所以.
所以，所以.故A错误；
对于B、C：
因为，所以.
所以，所以.故B正确，C错误；
对于D：因为，
所以，所以.故 D正确.
故选：BD
2．已知，则_______．（用“>”或“
因为,
又，，所以，所以，
故答案为：>.
3．已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
【答案】≥
，
当且仅当，取等号．
故答案为：≥
重点题型二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
例题1．（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
例题2．已知下列三个不等式：
①； ②； ③，
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
【详解】
（1）对②变形得，
由得②成立，即①③②．
（2）若，则，即①②③．
（3）若，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
同类题型演练
1．证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
(1)，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
(2)，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
2．利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明： ，
，
又，
；
(2)证明：，
，
又，
．
3．求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
(1)证明：因为，所以，
又，故，
即；
(2)证明：因为，，所以 ，
因为，同号，所以 ，，
故，即 ，所以；
(3)证明：因为，所以 ，
又，所以 ，
故.
4．（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
重点题型三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围是，
故选：D.
例题2．设，，求，，的范围.
【答案】，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
同类题型演练
1．已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，
故，，得
故选：C
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为，所以，
由，得.
故选：A.
3．设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由已知得，，，故，
故选：B.
4．已知，则的取值范围为_______.
【答案】
因为，所以，
所以，.
将不等式,同乘以,
则，即.
故答案为.
重点题型四：利用待定系数法求取值范围
典型例题
例题1．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
例题2．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
【答案】
,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
例题3．已知，则的取值范围为______.
【答案】
令，令，解得，所以，由得，
由得，所以，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
同类题型演练
1．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解：令，，则，
则，
，
，
又，
，
∴，
故选：B．
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选D.
3．已知，，则6x＋5y的取值范围为______．
【答案】
解：，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：
4．已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
5．已知，则的取值范围是_____．
【答案】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
2.1等式性质与不等式性质（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
对于选项A：当时，不等式，故A不正确；对于选项B：当时，，故B不正确；
对于选项C：当时，，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D正确．
故选：D．
2．设，，，则P、Q的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：因为，，所以，
所以；
故选：A
3．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
A：当时，显然不成立；
B：当时，显然没有意义；
C：当时，显然不成立；
D：根据不等式的性质，由能推出，
故选：D
4．给出下列四个关于实数的不等关系的推理：
①，
②，
③，
④.
其中推理正确的序号为（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】B
根据不等式的可加性，可知正确，故①正确；
若，故②错误；
因为，所以，又，所以，故③正确；
若，则④错误；
故选:B.
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（ ）
A．且，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】C
对于A，当，不等式不成立，故错误；
对于B，取，，故错误；
对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；
对于D，当，不等式不成立，故错误.
故选：C.
6．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：
方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；
方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（ ）
A．方案一B．方案二C．一样划算D．不能确定
【答案】A
设第一次油价为，第二次油价为，，，
方案一的平均油价为：；
方案二的平均油价为：.
则，故.
故选：A.
7．若实数，满足不等式组，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
，得到，，故.
当，时等号成立.
故选：A.
8．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
令，
∴，即，
∴，故.
故选：D
二、多选题
9．若，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
对A，由，故A正确；
对B，，故B正确；
对D，由，又，故D正确；
故选：ABD
10．已知，，，则下列等式不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
A：由，则，可得，，故错误；
B：由题设，得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；
C：由，当且仅当时取等号，故错误；
D：若，又，解得，显然满足条件，故正确.
故选：ABC．
三、填空题
11．已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
12．若，则下列不等式：①，②，③，④中正确的不等式的序号为______.
【答案】③④
由于，所以，，.
所以①错误.
，所以②错误.
，③正确.
，④正确.
故答案为：③④
四、解答题
13．（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
（1），
又，
，
又，
（2）设，得
即
而，
14．若，，，比较，，的大小.
【答案】.
详解：∵，，，
∴ ，即，
，即，
综上可得：.
B能力提升
1．已知、，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
由，可得，且，则可得到，故充分性成立；
反之若，可取，显然得到不等式不成立，故必要性不成立.
故选：A．
2．四个条件:;;;中,能使成立的充分条件的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
由题意,时,,∴;
时,,∴;
时,,,∴;
时,,∴
从而能使成立的充分条件的个数是3个
故选C.
3．（1）已知，求的取值范围；
（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？
【答案】（1）；（2）当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；当时，食盐水的浓度变小.
【详解】
（1）令，
则解得
有.
又由，有，
故的取值范围为.
（2）没有添加食盐和水时，食盐水的浓度为，
添加食盐和水时，食盐水的浓度为.
由，
有当时，食盐水的浓度变大；当时，食盐水的浓度不变；
当时，食盐水的浓度变小.
4．已知，，则的范围是_________，的范围是________．
【答案】
【详解】
，，两个不等式相加可得，解得，
设，
所以，，解得，，
因为，，
由不等式的基本性质可得.
故答案为：；.
C综合素养
1．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
证明：（1）因为，所以，
又，即，
所以，所以，即≤；
（2）因为，所以，，
所以，
所以；
（3）解：①成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；
②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
2．对平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：如果，那么称点是点的“上位点”，同时称点是点的“下位点”．
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)设a，b，c，d均为正数，且点是点的“上位点”，请判断点是否既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为（答案不唯一，正确即可）(2)是，证明见解析
(1)解：由题意，可知点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为．（答案不唯一，正确即可）
(2)解：点既是点的下位点，又是点的“上位点”，证明如下：
∵点是点的“上位点”，
∴，
又a，b，c，d均为正数，
∴，
∵，
∴是点的“下位点”，
∵，
∴是点的“上位点”，
综上，既是点的“下位点”，又是点的“上位点”．自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意c的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
a，b同为正数
可开方性