高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全称量词与存在量词课时作业

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思维导图
新课标要求
1.全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
知识梳理
1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．
2.全称命题：，，它的否定：，。全称命题的否定是特称命题。
特称命题：，，它的否定：，。特称命题的否定是全称命题。
名师导学
知识点1 全称命题、特称命题的判断
1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
2.判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．
【例1-1】下列命题中为全称量词命题的是（ ）
A．有些实数没有倒数
B．矩形都有外接圆
C．存在一个实数与它的相反数的和为0
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
【例1-2】用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假．
（1）实数都能写成小数形式；
（2）存在实数m，n，使m－n＝1.
【变式训练1-1】下列命题为存在量词命题的是（ ）
A．某些二次函数的图象与轴有交点
B．正方体都是长方体
C．不平行的两条直线都是相交直线
D．存在实数大于或等于2
【变式训练1-2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
（1）有的质数是偶数；
（2）所有的质数都是奇数；
（3）负数的平方是正数；
（4）每一个多边形的外角和都是360°.
知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
【例2-1】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例2-2】，的否定是___________．
【变式训练2-1】命题“，都有”的否定是（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．， 使得
【变式训练2-2】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式训练2-3】写出下列命题p的否定，并判断其真假.
(1)p：，.
(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.
(3)p：有的三角形的三条边相等.
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
知识点3 全称量词命题与存在量词命题的综合应用（难点）
1.依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
2.求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或ay(或aymin(或am恒成立．求实数m的取值范围．
延伸探究
1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．
【变式训练3-1】已知“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-2】已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-3】（多选）命题，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-4】解答：
(1)已知命题p：“，”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)已知命题q：“满足，使”为真命题，求实数a的范围.
【变式训练3-5】从两个符号“”“”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.
已知集合，，若命题：①，则是真命题，求m的取值范围.
名师导练
A组-[应知应会]
1．下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．，
B．当时，函数是增函数
C．存在平行四边形的对边不平行
D．平行四边形都不是正方形
2．已知命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，是全称命题又是真命题的是（ ）
A．对任意的，都有
B．菱形的两条对角线相等
C．，
D．一次函数在上是单调函数
4．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立
B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立
C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立
D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立
6．（多选）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A．，B．有的矩形不是平行四边形
C．，D．，
7．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．已知集合满足命题“”为真命题，则
B．已知集合满足命题“”为真命题，则
C．已知集合满足命题“”为真命题，则
D．已知集合满足命题“”为假命题，则
8．下列语句是全称量词命题的是______（填序号）．
①有的无理数的平方是有理数；
②有的无理数的平方不是有理数；
③对于任意，是奇数；
④存在，是奇数．
9．命题“，”的否定是___________．
10．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.
11．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。
(1)若，则是偶数；
(2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对都对应一点；
(3)存在一个实数x，使得；
(4)至少有一个，使x能同时被2和3整除．
12．用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（1）任意实数都有，；
（2）存在实数，；
（3）存在一对实数、，使成立；
（4）有理数的平方仍为有理数；
（5）实数的平方大于：
（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于．
13．已知集合，，且．
(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。
B组-[素养提升]
1．已知命题，是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“，”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“，”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．
3．已知集合，，
（1）若，，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；