人教A版 (2019)必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词教案，共4页。教案主要包含了引入新课，建构新知，深化认识，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
课例编号
2020QJ10SXRA007
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
1.5全称量词与存在量词
教科书
书名：普通高中教科书数学A版必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6 月
教学人员
姓名
单位
授课教师
彭生才
北京汇文中学
指导教师
李颖
东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：1.通过丰富的例子理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义，会判断全称量词命题与存在量词命题的真假，会写出其否定形式；
2.使学生体会从特殊到一般的归纳方法，体验从具体到抽象的认知发展过程；
3.培养学生逻辑用语的理解能力和表达能力，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.
教学重点：理解全称量词命题和存在量词命题的含义.
教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，写出全称量词命题和存在量词命题的否定形式.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、引入新课
二、建构新知
三、深化认识
四、课堂小结
五、布置作业
请同学们阅读下列两组命题，看看语言上有什么特点？
A组：
(1)对任意一个xZ，2x+1是整数.
(2)每一个素数都是奇数.
(3)所有的矩形都是平行四边形.
B组：
(1)有些三角形是等腰三角形.
(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直.
(3)存在一个xR，使得x2>0.
我们发现，A组中的短语“任意一个”、“每一个”、“所有的”指的是事物的全部，B组中的短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”指的是事物的一部分。这两种短语就是我们今天要学习的全称量词与存在量词。
1.短语“任意一个”，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
A组命题都是全称量词命题，为了更好地观察命题的结构，我们把A组命题改用集合语言叙述：
(1)对于整数集合中的任意一个元素x，2x+1是整数.
(2)素数集合中的任意一个元素x都是奇数.
(3)矩形集合中的任意一个元素x都是平行四边形.
不难发现，全称量词命题的结构特点是：集合M中的任意一个元素x，都满足条件p.因此全称量词命题的一般形式就可以写成：“对M中任意一个x，都有p(x)成立”，用符号简记为“，p(x)”.
2.短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
B组命题都是存在量词命题，同理，从集合的角度看，存在量词命题的结构特点是：集合M中至少存在一个元素x，满足条件p.它的一般形式可以写成：“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符号简记为“，p(x).”
为了更好地理解全称量词命题与存在量词命题的含义及关系，我们进一步研究命题的真假与命题的否定.
1.判断命题的真假
例１ 判断下列全称量词命题的真假：
(1)x∈R，|x|＋1≥1；
(2)对任意一个无理数x， x2也是无理数.
分析 要判定全称量词命题“，p(x)”为真，就需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题“，p(x)”为假，举一个反例即可:在集合M中找一个x0，使得p(x0)不成立．
解 (1)x∈R，总有|x|≥０，因此|x|＋1≥1．所以该命题是真命题.
(2)是无理数，但是有理数，即至少有一个无理数的平方不是无理数，所以该命题是假命题.
例2 判断下列存在量词命题的真假:
(1)有一个偶数是素数;
(2)存在一个三角形，它的内角和不等于1800.
分析 要判定存在量词命题“x∈M,p(x)”为真，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可(找特例).要判定存在量词命题“x∈M,p(x)”为假，就需要证明M中不存在使p(x)成立的元素,即对M中的任意一个元素x，p(x)都不成立.
解 (1)因为偶数2是素数，所以该命题是真命题.
(2)因为任意一个三角形的内角和都等于1800，所以内角和不等于1800的三角形不存在，所以该命题是假命题.
练习 判断下列命题的真假：
(1)所有能被３整除的整数都是奇数；
(2)任意两个等边三角形都相似；
(3)有一个实数x,使x2+2x+3=0；
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
解 (1) 举反例：6能被3整除，但是6不是奇数，所以该命题是假命题.
(2)因为任意两个等边三角形对应角相等(都是600)，所以它们相似，所以该命题是真命题.
(3)分析：“有一个实数x,使x2+2x+3=0”的含义是“方程x2+2x+3=0有解”.
因为∆，所以方程x2+2x+3=0无实根，因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以该命题是假命题.
(4)因为平面内过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，所以平面内任意两条相交直线都不可能垂直于同一条直线，即平面内不存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以该命题是假命题.
另：由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以该命题是假命题.
小结：判断全称量词命题、存在量词命题的真假，关键在于读懂命题的含义.在研究命题含义的过程中，我们会经常遇到与原命题意义想反的命题，即命题的否定.
比如例1第(2)题原命题是“对任意一个无理数x， x2也是无理数”，举反例，就说明“存在一个无理数x， x2不是无理数”，这个命题就是原命题的否定.
再如例2第(2)题原命题是“存在一个三角形，它的内角和不等于1800”，相反意义的命题是：“内角和不等于1800的三角形不存在”，即“任意一个三角形的内角和都等于1800”.
2.命题的否定
(1)全称量词命题的否定
原命题：对M中任意一个x，都有p(x)成立，记为，p(x).
命题的否定：“存在M中的元素x，使得p(x)不成立”，记为，p(x).
(2)存在量词命题的否定
原命题：存在M中的元素x，使得p(x)成立，记为，p(x).
命题的否定：对M中任意一个元素x， p(x)都不成立，记为，p(x).
(3)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．
例3 写出下列命题的否定：
(1)任意一个实数都有平方根;
(2)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于３;
(3)x∈R，使得x2-2x+2