高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全称量词与存在量词课后复习题

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知识点一 全称量词与全称量词命题
1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.
2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.
3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.
知识点二 存在量词与存在量词命题
1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.
2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.
3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.
知识点三 命题的否定
1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.
2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.
知识点四 全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： .
知识点五 存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： .
知识点六 命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
知识点七 常见正面词语的否定举例如下：
【题型归纳目录】
题型一：判断语句是否为命题
题型二：命题真假的判断
题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定
题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围
题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围
题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典型例题】
题型一：判断语句是否为命题
例1.下列语句中，命题的个数是 ( )
①空集是任何集合的真子集;②请起立;
③ 的绝对值为1;④你是高一的学生吗?
A.0 B.1 C.2 D.3
【技巧总结】
判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题;否则就不是命题.
题型二：命题真假的判断
（多选题）例2．下列说法中，以下是真命题的是（ ）．
A．存在实数，使
B．所有的素数都是奇数
C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.
D．三条边都相等的三角形是等边三角形
（多选）例3．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例4．下列全称量词命题中真命题的个数为______个.
①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0．
例5．判断下列命题的真假：
(1)，；
(2)，；
(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(4)平面上任意两条直线必有交点．
【技巧总结】
判断命题真假的方法
(1)真命题的判定方法.
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)假命题的判定方法.
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定
例6．下列命题中为全称量词命题的是（ ）
A．有些实数没有倒数
B．矩形都有外接圆
C．存在一个实数与它的相反数的和为0
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
例7．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
例8．下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数
【技巧总结】
理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”.
(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”.
(3)存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等.
题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
例9．下列四个命题：
① ②
③ ④至少有一个实数，使得
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
例10．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
（多选）例11．已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ）
A．，有 B．，使得
C．，有 D．，使得
（多选）例12．已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（ ）
A．，且 B．，
C．，或 D．，且
【技巧总结】
（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题.
题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围
例13．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例14．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例16．从两个符号“”“”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.
已知集合，，若命题：①，则是真命题，求m的取值范围.
例17．已知集合，，且．
(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。
题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围
（多选）例18．已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．3
例19．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
例20．若，使得，则实数的取值范围为__________.
例21．若命题“，”是假命题，则实数的范围是___________.
例23．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定
例24．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
例25．已知命题，则的否定为（ ）
A． B． C． D．
例26．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例27．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
例28．命题“”的否定是（ ）
A．不存在 B．
C． D．
【技巧总结】
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【同步练习】
一、单选题
1．设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列全称量词命题的否定形式中，假命题的个数是（ ）
（1）所有能被3整除的数能被6整除；（2）所有实数的绝对值是正数；（3），的个位数不是2.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋0，a＋0，都有mx+1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．，或 D．，
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使
C．命题“，”的否定是“，”
D．命题“，”的否定是“，”
三、填空题
14．已知命题是真命题，则实数a的取值范围是__________．
15．下列语句是假命题的是______（填序号）．
①所有的实数都能使成立；
②存在一个实数，使成立；
③存在一个实数，使．
16．命题“对”为真命题，则实数的最小值是_______.
四、解答题
18．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“，”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“，”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．
19．设全集，集合，集合，其中
(1)若命题“，”是真命题，求的取值范围；
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
20．已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
正面词语
等于
大于(>)
小于(