人教A版 (2019)必修 第一册全称量词与存在量词学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全称量词与存在量词学案及答案，共12页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
1. 理解全称量词与存在量词的意义．
2．会判定全称命题和特称命题的真假．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
4．体会从具体到一般的认知过程，培养抽象、概括的能力．
【学习重难点】
重点： 会判定全称命题和特称命题的真假．
难点： 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P24～29，思考并完成以下问题
1．全称量词、全称命题的定义是什么？

2．存在量词、特称命题的定义是什么？

3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？

预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )
(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )
(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )
2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|＋x20 D．∀x∈Z，|x|∈N
[归纳总结]
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
2.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．
(1) ∀x∈R ，x2－x＋1＝0
(2)任意两个等边三角形都相似；
(3)有些平行四边形是菱形；
(4)∃x0∈R，使＋12n，则p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2) 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
[归纳总结]
全称命题与特称命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[活学活用]
3.判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
题型四 利用全称命题与特称命题求参数
[例4] 若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[归纳总结]
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
4.已知命题p：∃x0∈R，使－mx0＋1＝0，命题q：∀x∈R，有x2－2x＋m>0.若命题q∨(p∧q)为真，p为真，求实数m的取值范围．
五、达标检测
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．p：∀x∈A,2x∉B B．p：∀x∉A,2x∉B
C．p：∃x∉A,2x∈B D．p：∃x∈A,2x∉B
3．下列命题中，真命题是( )
A．∃x0∈R，≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
六、本课小结
1.要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可；要判断全称命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．简单地说，判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”．
2.要判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；要判断特称命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x0，使得p(x0)成立．简单地说，判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明”．
3.全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)× (2)√ (3)√
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：特称命题 假 ∀x∈R，x2＋2x＋5≥0
题型探究
[例1] 解析： (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[活学活用]
1.解析：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．
(3) 所有正数的绝对值是它本身．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
[例2] 解析： (1) A．有些实数是无限不循环小数 (真)
B．每一个末位是0的整数都是5的倍数；(真)
C．存在一个三角形不是等腰三角形；(真)
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(真)
(2)对于A，x0＝1时，x0＞0
对于B，x＝－1时，x2＋2x＋1＝0；
对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；
对于D，x∈Ｚ，|x|∈Ｎ恒成立．
[活学活用]
2.解析：(1)是全称命题．
∵x2－x＋1>0恒成立，∴命题(1)是假命题．
(2)是全称命题．
∵任意两个等边三角形都相似∴命题(2)是真命题．
(3)是特称命题．
由于邻边相等的平行四边形是菱形，
∴命题(3)是真命题．
(4)是特称命题．
对任意x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题.
[例3] [解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
[答案] (1)C (2)D
[活学活用]
3.解析：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.
(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.
[例4] [解析] 法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，
令y＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以y＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，ymin≥a恒成立，
而∀x∈[－1，＋∞)，
由y的最小值ymin≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令y＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，
y≥0恒成立，所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a1⇒ab>1，反之不能成立
正确