北师大版初中数学八年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷（含答案解析）
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考试范围：第四单元 考试时间：120分钟 总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知多项式中有因式，则的值为( )
A. B. C. D. 不能确定
3. 下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4. 为正整数，若的公因式是，则等于( )
A. B. C. D.
5. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
6. ( )
A. B. C. D.
7. 数学课上，老师讲了提公因式法因式分解．放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：__________，横线上的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ( )
A. B. C. D.
8. 已知，则计算：的结果为( )
A. B. C. D.
9. 已知，，是正整数，，且，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
10. 如果能被整除，则的值是( )
A. B. C. D.
11. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
12. 将分解因式，下面是四位同学分解的结果：
其中，正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 两名同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成乙因看错了常数项而分解成，则将原多项式因式分解后的正确结果应该是 ．
14. 若，互为相反数，则的值为 ．
15. 已知正方形的面积是，利用因式分解写出表示该正方形的边长的代数式是 ．
16. 若，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片，小明拼成的长方形如图，面积为；也可以表示为，于是可得；试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式．
18. 本小题分
小明在解答“因式分解：；”时，是这样做的：
解：．
．
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
19. 本小题分
已知，，在不解方程组的条件下求的值。
20. 本小题分
小明把元、元、元分三次存一年定期储蓄，若年利率均为，到期后小明共得利息多少
21. 本小题分
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
请根据上述材料回答下列问题：
小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____；
A.提取公因式法 平方差公式法 完全平方公式法
老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____；
请你用换元法对多项式进行因式分解．
22. 本小题分
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如，，，因此，，，都是“和谐数”和这两个数是“和谐数”吗？为什么？
23. 本小题分
将一条长的金色的彩带剪成两段，恰好可以用来镶嵌两张大小不同的照片不计算接头处，照片都为正方形已知两张照片的面积相差，问这条彩带应剪成多长的两段
24. 本小题分
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
分组分解法：
例如：
拆项法：
例如：．
仿照以上方法，按照要求分解因式：
用分组分解法；
用拆项法；
已知：、、为的三条边，，求的周长．
25. 本小题分
已知，，求的值．
关于的代数式化简后不含项与常数项，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【解答】
解：、是整式的乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故D不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以的公因式是，即，
故选：．
根据多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式，可得答案．
本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式或相同多项式因式；定指数，即各项相同字母因式或相同多项式因式的指数的最低次幂．
5.【答案】
【解析】解：
，
又，
．
．
故选：．
先提取公因式，再套用平方差公式分解，再根据等式的性质确定的值．
本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，要注意符号的运算．提取公因式，计算后即可选取答案．
【解答】
解：，
，
，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】
【分析】
观察已知可转化为，再对提取公因式因式分解的过程中将作为一个整体代入，逐次降低的次数，使问题得以解决．此题考查的是因式分解的应用．解决本题的关键是将作为一个整体出现，逐次降低的次数．
【解答】
解：
；
故选A．
9.【答案】
【解析】解：
，
，，，是正整数，
或，或．
故选：．
根据因式分解的分组分解法即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
10.【答案】
【解析】解：能被整除，
，
，
解得，
，
故选：．
根据能被整除得到，利用等式的对应项相等可得关于、、的方程组，解方程组求出，，即可．
本题考查了因式分解的应用，整式的除法，可利用乘法是除法的逆运算计算，其实就是待定系数法．
11.【答案】
【解析】解：、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了用完全平方公式法进行因式分解，掌握完全平方公式的式子特点是解题关键．
12.【答案】
【解析】原式．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相反数的概念，求代数式的值，关键是掌握相反数的概念．先把把变形为把，再根据，互为相反数可知与互为相反数，由互为相反数的和为可得答案．
【解答】
解：
，互为相反数，
与互为相反数，
即的值为
故答案为
15.【答案】略
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：由，得，
，
原式
．
故答案为：．
把当整体代入求值，通过两次代入解题．
本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．
17.【答案】解：如图：
图中大正方形的面积为：．
也可以表示为：．
．
【解析】本题考查因式分解，构造图形，利用面积关系分解是求解本题的关键．
利用图形面积关系进行分解．
18.【答案】解：，分解不正确．
，分解正确．
【解析】略
19.【答案】解：，原式
【解析】略
20.【答案】略
【解析】略
21.【答案】解： ；
；
设，
原式，
，
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
根据完全平方公式进行分解因式；
最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
根据材料，用换元法进行分解因式．
【解答】
解：．
故选：；
，
设，
原式，
，
，
，
；
故答案为：；
见答案．
22.【答案】解：和都是和谐数．
理由如下：设，
令，解得．
．
同理：令，解得．
．
【解析】略
23.【答案】略
【解析】略
24.【答案】解：
；
．
、、为的三条边，，
，
，
，
，
的周长为．
【解析】读懂题意，利用分组法分解因式；读懂题意，利用拆项法分解因式；
把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再计算三角形的周长．
本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质．
25.【答案】解，
．
，
化简后不含项与常数项，
，，
，，
，
．
【解析】利用完全平方公式代入计算即可．
原始化简后令二次项系数与常数项等于，求出，值，代入等式再利用整体代入法即可求解．
本题考查了完全平方公式，多项式，代数式求值，整体代入法等知识，熟练掌握公式的变形是解题关键．
