高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念导学案

5.2.2　同角三角函数的基本关系

课程标准

(1)理解并掌握同角三角函数的基本关系．(2)会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　同角三角函数的基本关系式

助 学 批 注

批注❶　(1)公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立．如sin2230°＋cos2260°≠1.

(2)同角不要拘泥于形式α，，6α等等都可以．

批注❷　在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件，即cos α≠0. α≠kπ＋，k∈Z.

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)

(2)对任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．(　　)

(3)sin2＋cos2＝1.(　　)

(4)对任意的角α，都有tanα＝成立．(　　)

2．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝(　　)

A．－    B．    C．    D．－

3．已知sin α＝2cos α，则tan α＝(　　)

A.－2    B．－    C．    D．2

4．已知cos α＝，－＜α＜0.则sin α＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　利用同角基本关系式求值

例1　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

方法归纳

利用同角基本关系式求值的一般步骤

巩固训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

题型 2　三角函数式化简求值

例2　已知tan α＝2，求下列代数式的值．

(1)；

(2)sin2α＋sinαcos α＋cos2α.

方法归纳

已知角α的正切，求与sinα，cos α有关式子的值的策略

巩固训练2　已知tan α＝－，则＝________．

题型 3　三角函数式的化简与证明

例3　(1)已知 α为第二象限角，化简.

(2)求证：＝.

方法归纳

利用同角三角函数的基本关

系式化简与证明常用策略

巩固训练3　(1)化简：sin αcos α(tan α＋)；

(2)证明：＝.

5.2.2　同角三角函数的基本关系

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

1　tan α　α的正切

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.

答案：A

3．解析：∵sinα＝2cos α，∴＝2，∴tan α＝2.

答案：D

4．解析：因为cos α＝及sin2α＋cos2α＝1，

所以sin2α＝1－cos2α＝，

因为－＜α＜0，所以sinα＝－.

答案：－

题型探究·课堂解透

例1　解析：∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，

tanα＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－＝－，tanα＝.

巩固训练1　解析：由tan α＝＝，

得sin α＝cos α，　①

又sin2α＋cos2α＝1，　②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

又α是第三象限角，

∴cosα＝－，sin α＝cos α＝－.

例2　解析：(1)原式＝＝.

(2)原式＝

＝＝＝.

巩固训练2　解析：tanα＝－＝＝＝－.

答案：－

例3　解析：(1)因为α为第二象限，所以cos α<0，

所以原式＝ ＋

＝＝＝－.

(2)证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．

巩固训练3　解析：(1)sin αcos α(tan α＋)

＝sin αcos α()

＝sin2α＋cos2α＝1.

(2)证明：左边＝

＝＝，

右边＝

＝

＝

∴左边＝右边，原等式成立．