高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念优秀导学案，共11页。学案主要包含了化简求值与恒等式的证明，sin θ±cs θ型求值问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．








知识点 同角三角函数的基本关系


1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cs2α＝1.


2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq \f(sin α,cs α)＝tan α其中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？


答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.


预习小测 自我检验


1．已知α是第四象限角，cs α＝eq \f(12,13)，则sin α＝ .


答案 －eq \f(5,13)


解析 由条件知sin α＝－eq \r(1－cs2α)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13).


2．sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝ .


答案 1


3．已知3sin α＋cs α＝0，则tan α＝ .


答案 －eq \f(1,3)


解析 由题意得3sin α＝－cs α≠0，


∴tan α＝－eq \f(1,3).


4．若cs α＝eq \f(3,5)，且α为第四象限角，则tan α＝ .


答案 －eq \f(4,3)


解析 因为α为第四象限角，且cs α＝eq \f(3,5)，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).





一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值


例1 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝ .


答案 －eq \f(\r(5),5)


解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2，①,sin2α＋cs2α＝1，②))


由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，


所以cs2α＝eq \f(1,5)，


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α<0，


所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).


(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．


解 ∵cs α＝－eq \f(8,17)<0，


∴α是第二或第三象限的角．


如果α是第二象限角，那么


sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).


如果α是第三象限角，同理可得


sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).


反思感悟 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法


(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cs α＝±eq \r(1－sin2α)，求得cs α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．


(2)若已知cs α＝m，可以先应用公式sin α＝±eq \r(1－cs2α)，求得sin α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．


(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝m⇒sin α＝mcs α及sin2α＋cs2α＝1，求得cs α＝±eq \f(1,\r(1＋m2))，sin α＝±eq \f(m,\r(1＋m2))的值．


跟踪训练1 已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．


解 ∵sin α＋3cs α＝0，


∴sin α＝－3cs α.


又sin2α＋cs2α＝1，


∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，即10cs2α＝1，


∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).


又由sin α＝－3cs α，可知sin α与cs α异号，


∴角α的终边在第二或第四象限．


当角α的终边在第二象限时，


cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3\r(10),10)；


当角α的终边在第四象限时，


cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3\r(10),10).


二、化简求值与恒等式的证明


例2 (1)化简：tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角；


(2)化简：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)).


解 (1)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cs α<0.


故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))


＝eq \f(sin α,cs α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.


(2)原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(\f(sin α,cs α)－sin α,\f(sin α,cs α)＋sin α))＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))


＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,|sin α|)＝±1.


反思感悟 同角三角函数关系化简常用方法


(1)化切为弦，减少函数名称；


(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号；


(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．


跟踪训练2 求证：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·tan α,1＋cs α)＝1.


证明 eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs αtan α,1＋cs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·\f(sin α,cs α),1＋cs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.


三、sin θ±cs θ型求值问题


例3 已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，


求：(1)tan θ；(2)sin θ－cs θ.


解 (1)由sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，


得cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ.


又sin2θ＋cs2θ＝1，代入得sin2θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－sin θ))2＝1，


整理得sin2θ－eq \f(1,5)sin θ－eq \f(12,25)＝0，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(3,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(4,5)))＝0，


解得sin θ＝－eq \f(3,5)或sin θ＝eq \f(4,5).


又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝eq \f(4,5).


所以cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5)，


故tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(4,3).


(2)方法一 由(1)可知，sin θ－cs θ＝eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(7,5).


方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，


又sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，两边平方，


整理得sin θcs θ＝－eq \f(12,25)<0，所以cs θ<0.


又(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，


∴sin θ－cs θ＝eq \f(7,5).


反思感悟 (1)sin θ＋cs θ，sin θcs θ，sin θ－cs θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．


(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．


跟踪训练3 若sin θ－cs θ＝eq \r(2)，则tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝ .


答案 －2


解析 由已知得(sin θ－cs θ)2＝2，


∴sin θcs θ＝－eq \f(1,2).


∴tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝－2.





化切求值的方法技巧


典例 已知tan α＝3，求下列各式的值：


(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；


(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；


(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.


解 (1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).


(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(32－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23).


(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40).


[素养提升] (1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．


(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．


(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．





1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )


A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α) B．cs α＝－eq \r(1－sin2α)


C．sin α＝－eq \r(1－cs2α) D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)


答案 B


解析 由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cs α<0，sin α>0，故B正确．


2．若cs α＝－eq \f(4,5)，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )


A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)


答案 B


解析 由题意可得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(3,5)，


∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).


3．已知sin α＝eq \f(1,3)，tan α＝－eq \f(\r(2),4)，则cs α等于( )


A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(\r(2),4)


答案 A


解析 由sin α＝eq \f(1,3)>0，tan α＝－eq \f(\r(2),4)<0，可知α是第二象限角，


∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(2),3).


4．已知cs α－sin α＝－eq \f(1,2)，则sin αcs α的值为 ．


答案 eq \f(3,8)


5．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝ .


答案 eq \f(4,3)


解析 因为tan α＝－eq \f(1,2)，


所以eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－1)＝eq \f(4,3).





1．知识清单：


(1)同角三角函数基本关系式；


(2)三角恒等式的化简与证明；


(3)sin α±cs α型求值问题；


(4)齐次式的化切求值．


2．方法归纳：sin α±cs α型求值问题中的整体代换法．


3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．








1．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(3,5)，则tan α等于( )


A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)


答案 B


解析 由sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))得cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，


故选B.


2．化简sin2α＋cs4α＋sin2αcs2α的结果是( )


A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)


答案 C


解析 原式＝sin2α＋cs2α(cs2α＋sin2α)


＝sin2α＋cs2α＝1.


3．若α是三角形的内角，且sin α＋cs α＝eq \f(2,3)，则此三角形是( )


A．钝角三角形 B．锐角三角形


C．直角三角形 D．等边三角形


答案 A


解析 将sin α＋cs α＝eq \f(2,3)两边平方，


得1＋2sin αcs α＝eq \f(4,9)，即2sin α·cs α＝－eq \f(5,9).


又α是三角形的内角，所以sin α>0，cs α<0，


所以α为钝角．


4．化简eq \f(cs θ,1＋cs θ)－eq \f(cs θ,1－cs θ)得( )


A．－eq \f(2,tan2θ) B.eq \f(2,tan2θ) C．－eq \f(2,tan θ) D.eq \f(2,tan θ)


答案 A


解析 eq \f(cs θ,1＋cs θ)－eq \f(cs θ,1－cs θ)＝eq \f(cs θ1－cs θ－cs θ1＋cs θ,1－cs2θ)＝eq \f(－2cs2θ,sin2θ)＝－eq \f(2,tan2θ).


5．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,4)))，则sin θ－cs θ等于( )


A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


答案 B


解析 由(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，


得2sin θcs θ＝eq \f(7,9)，


则(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，


由0<θ

所以sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).


6．已知sin α＝eq \f(12,13)，且α为第二象限角，则tan α的值为 ．


答案 －eq \f(12,5)


解析 ∵α是第二象限角，sin α＝eq \f(12,13)，


∴cs α＝－eq \f(5,13).


于是tan α＝－eq \f(12,5).


7．已知cs α＝－eq \f(3,5)，且tan α>0，则eq \f(sin αcs2α,1－sin α)＝ .


答案 －eq \f(4,25)


解析 由cs α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(4,5)，


故原式＝eq \f(sin αcs2α,1－sin α)＝eq \f(sin α1－sin2α,1－sin α)


＝sin α(1＋sin α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＝－eq \f(4,25).


8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝ .


答案 1


解析 4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝eq \f(4sin2α－3sin αcs α－5cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)＝eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝eq \f(5,5)＝1.


9．已知tan α＝eq \f(2,3)，求下列各式的值：


(1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)；


(2)eq \f(1,sin αcs α).


解 (1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＋eq \f(1＋tan α,1－tan α)


＝eq \f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq \f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq \f(26,5).


(2)eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(tan2α＋1,tan α)＝eq \f(13,6).


10．化简：(1)eq \f(cs 36°－\r(1－cs236°),\r(1－2sin 36°cs 36°))；


(2)eq \f(sin θ－cs θ,tan θ－1).


解 (1)原式＝eq \f(cs 36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cs236°－2sin 36°cs 36°))


＝eq \f(cs 36°－sin 36°,\r(cs 36°－sin 36°2))


＝eq \f(cs 36°－sin 36°,|cs 36°－sin 36°|)


＝eq \f(cs 36°－sin 36°,cs 36°－sin 36°)＝1.


(2)原式＝eq \f(sin θ－cs θ,\f(sin θ,cs θ)－1)＝eq \f(cs θsin θ－cs θ,sin θ－cs θ)＝cs θ.





11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)


答案 D


解析 由题意知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ－cs θ>0，


sin θ－cs θ＝eq \r(sin θ－cs θ2)


＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(\r(5),2)，故选D.


12.eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))的值为( )


A．1 B．－1


C．sin 10° D．cs 10°


答案 B


解析 eq \f(\r(1－2sin 10°cs 10°),sin 10°－\r(1－sin210°))


＝eq \f(\r(cs 10°－sin 10°2),sin 10°－\r(cs210°))＝eq \f(|cs 10°－sin 10°|,sin 10°－cs 10°)


＝eq \f(cs 10°－sin 10°,sin 10°－cs 10°)＝－1.


13．化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)＝ .


答案 sin α


解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)


＝eq \f(1＋cs α,sin α)(1－cs α)


＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.


14．若α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，则sin α＝ ，tan α＝ .


答案 －eq \f(\r(6),3) eq \r(2)


解析 ∵α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，


∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(6),3)；


∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \r(2).





15．在△ABC中，eq \r(2)sin A＝eq \r(3cs A)，则角A等于( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)


答案 C


解析 由题意知cs A>0，即A为锐角．


将eq \r(2)sin A＝eq \r(3cs A)两边平方得2sin2A＝3cs A，


∴2cs2A＋3cs A－2＝0，


解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－2(舍去)．


∴A＝eq \f(π,3).


16．证明：sin α(1＋tan α)＋cs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tan α)))＝eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,cs α).


证明 左边＝sin αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)))＋cs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(cs α,sin α)))


＝sin α＋eq \f(sin2α,cs α)＋cs α＋eq \f(cs2α,sin α)


＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin α)＋eq \f(sin2α＋cs2α,cs α)＝eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,cs α)＝右边．


即原等式成立．