高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念导学案

5.2.2   同角三角函数的基本关系

学习目标

知识梳理

名师导学

知识点1    利用同角三角函数的基本关系求值

【例1】(1)已知sin α＝，求cos α，tan α 的值；

(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值．

[例2]　已知tan α＝2.

(1)求的值；

(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.  

反思感悟　

(1)求三角函数值的方法

①已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解

②已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解

当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．

(2)已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

①关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；

②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．

变式训练

1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝(　　)

A.　　　　　　　 B．－

C．－  D.

2．已知＝，求下列各式的值：

(1)；

(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.

知识点2    sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

【例】已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.

(1)求sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

反思感悟　

已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：

(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；

(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；

(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；

(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．　

变式训练

1．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.　　 B．－　　　

C．－　　 D.

2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.

知识点3    利用同角三角函数的基本关系化简

【例】化简－.

反思感悟　

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．　　

变式训练

化简下列各式：

(1)－；

(2).

知识点4    利用同角三角函数的基本关系证明

【例】求证：＝.

反思感悟　

证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；

(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”．　　

变式训练

1．化简：＋(1＋tan2α)cos2α.

2．求证：＝.

当堂测评

1．已知sin α＝，tan α＝，则cos α＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　   D.

2．(2020·周口高二检测)已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)

A.   B．±

C.   D．－

3．化简(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α 

B．cos α

C．1＋sin α 

D．1＋cos α

4．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝____________．

5．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

名师导学

知识点1    利用同角三角函数的基本关系求值

【例1】(1)已知sin α＝，求cos α，tan α 的值；

(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值．

[解]　(1)∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角．

当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；

当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.

(2)由已知得

由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＝，又α∈ ，∴cos  α＜0，

∴cos α＝－.

[例2]　已知tan α＝2.

(1)求的值；

(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.  

[解]　(1)法一(代入法)：∵tan α＝2，

∴＝2，∴sin α＝2cos α.

∴＝＝－.

法二(弦化切)：∵tan α＝2.

∴＝＝＝＝－.

(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α

＝

＝＝＝.

反思感悟　

(1)求三角函数值的方法

①已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解

②已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解

当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．

(2)已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

①关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；

②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．

变式训练

1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝(　　)

A.　　　　　　　 B．－

C．－  D.

解析：选D　由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.

因为<α<π，所以sin α＝.故选D.

2．已知＝，求下列各式的值：

(1)；

(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.

解：∵＝，

∴＝，解得tan θ＝2.

(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ

＝

＝＝－.

知识点2    sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

【例】已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.

(1)求sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

[解]　(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，

sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.

(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，

所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.

(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，

所以sin α－cos α＝.

反思感悟　

已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：

(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；

(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；

(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；

(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．　

变式训练

1．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.　　 B．－　　　

C．－　　 D.

解析：选C　由已知得(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝－.故选C.

2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.

解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，

∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.

∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.

知识点3    利用同角三角函数的基本关系化简

【例】化简－.

[解]　－

＝

＝＝＝－2tan2α.

反思感悟　

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．　　

变式训练

化简下列各式：

(1)－；

(2).

【解】　(1)－

＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)

＝

＝＝1.

知识点4    利用同角三角函数的基本关系证明

【例】求证：＝.

[证明]　法一：左边＝

＝＝＝＝右边．

所以等式成立．

法二：右边＝＝

＝

＝＝左边．

所以等式成立．

反思感悟　

证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；

(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”．　　

变式训练

1．化简：＋(1＋tan2α)cos2α.

解：原式＝＋cos2α

＝＋·cos2α＝1＋1＝2.

2．求证：＝.

证明：∵右边＝

＝

＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立．

当堂测评

1．已知sin α＝，tan α＝，则cos α＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　   D.

解析：选B.因为tan α＝，所以cos α＝＝＝.

2．(2020·周口高二检测)已知＝2，则sin θcos θ的值是(　　)

A.   B．±

C.   D．－

解析：选C.由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ ＝sin θ，

所以tan θ＝3，

所以sin θcos θ＝＝＝＝.

3．化简(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α 

B．cos α

C．1＋sin α 

D．1＋cos α

解析：选A.(1－cos α)＝

(1－cos α)＝＝＝sin α.

4．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝____________．

解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，所以cos θ＝－＝

－＝－.

答案：－

5．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

解：因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，

所以sin α＝＝＝，tan α＝＝－；

当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，

所以sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝.