数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀导学案及答案

这是一份数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀导学案及答案，共11页。学案主要包含了任意角三角函数的定义及应用，三角函数值符号的运用，公式一的应用等内容，欢迎下载使用。

5.2.1 三角函数的概念


学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切.4.掌握公式并会应用．








知识点一 任意角的三角函数的定义


设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，


点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．





正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：


正弦函数y＝sin x，x∈R；


余弦函数y＝cs x，x∈R；


正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．


思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？


答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．


知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号


1．图示：





2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．





知识点三 公式一


sin(α＋2kπ)＝sin α，


cs(α＋2kπ)＝cs α，


tan(α＋2kπ)＝tan α，


其中k∈Z.


终边相同的角的同一三角函数的值相等．


思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？


答案 不一定，如sin 30°＝sin 150°＝eq \f(1,2).





1．sin α表示sin 与α的乘积．( × )


2．设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝eq \f(y,r)，且y越大，sin α的值越大．( × )


3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )


4．终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )





一、任意角三角函数的定义及应用


例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，y))(y<0)，则tan α＝ .


答案 －eq \f(4,3)


解析 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，y))(y<0)在单位圆上，则eq \f(9,25)＋y2＝1，


所以y＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝－eq \f(4,3).


(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．


解 设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)，


则|OP|＝r＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))，


∵y0＝2x0，∴r＝eq \r(5)x0，


∴sin α＝eq \f(y0,r)＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(x0,r)＝eq \f(\r(5),5).


延伸探究


1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，y))(y<0)”改为“α的终边经过点P(－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值．


解 由已知可得|OP|＝eq \r(－32＋－42)＝5.


如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P0(x，y)．





分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，


则|MP|＝4，|M0P0|＝－y，


|OM|＝3，|OM0|＝－x，


△OMP∽△OM0P0，


于是，sin α＝y＝eq \f(y,1)＝－eq \f(|M0P0|,|OP0|)＝eq \f(－|MP|,|OP|)＝－eq \f(4,5)；


cs α＝x＝eq \f(x,1)＝－eq \f(|OM0|,|OP0|)＝eq \f(－|OM|,|OP|)＝－eq \f(3,5)；


tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3).


2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？


解 (1)若α的终边在第一象限内，


设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，


因为r＝|OP|＝eq \r(a2＋4a2)＝eq \r(5)a


所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(2a,\r(5)a)＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(a,\r(5)a)＝eq \f(\r(5),5).


(2)若α的终边在第三象限内，


设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，


因为r＝|OP|＝eq \r(a2＋4a2)＝－eq \r(5)a(a<0)，


所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(2a,－\r(5)a)＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(a,－\r(5)a)＝－eq \f(\r(5),5).


反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略


(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：


①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．


②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cs α＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，正切值tan α＝eq \f(b,a).


(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.





跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cs α＝ .


答案 1或－1


解析 因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，


①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．


sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，


所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.


②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，


sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5).


所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.


二、三角函数值符号的运用


例2 (1)已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α的终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


(2)下列各式：


①sin(－100°)；②cs(－220°)；③tan(－10)；④cs π.


其中符号为负的有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


答案 (1)C (2)D


解析 (1)因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))


由此可判断角α的终边在第三象限．


(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cs(－220°)<0；


－10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)π，－3π))，在第二象限，故tan(－10)<0，cs π＝－1<0.


反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤


(1)定象限：确定角α所在的象限．


(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．


跟踪训练2 已知点P(sin α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 C





三、公式一的应用


例3 计算下列各式的值：


(1)sin(－1 395°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)tan 4π.


解 (1)原式


＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)


＝sin 45°cs 30°＋cs 60°sin 30°


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).


(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))tan(4π＋0)＝sin eq \f(π,6)＋cs eq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).


反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤





跟踪训练3 (1)cs 405°的值是( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)


答案 C


解析 cs 405°＝cs(45°＋360°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).


(2)sin eq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝ .


答案 eq \f(\r(3),2)＋1


解析 sin eq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋8π))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－4π))＝sin eq \f(π,3)＋tan eq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)＋1.





1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cs α等于( )


A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)


答案 D


2．sin(－315°)的值是( )


A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)


答案 C


解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).


3．若sin θ·cs θ>0，则θ在( )


A．第一或第四象限 B．第一或第三象限


C．第一或第二象限 D．第二或第四象限


答案 B


解析 因为sin θ·cs θ>0，


所以sin θ<0，cs θ<0或sin θ>0，cs θ>0，


所以θ在第一象限或第三象限．


4．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,3)))＝ .


答案 eq \r(3)


解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,3)))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3).


5．y＝sin x＋tan x的定义域为 ．


答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))


解析 要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))


∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).





1．知识清单：


(1)三角函数的定义及求法；


(2)三角函数在各象限内的符号；


(3)公式一．


2．方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的分类讨论思想．


3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).








1．已知角α的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)


答案 B


2．若cs α＝－eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )


A．2eq \r(3) B．±2eq \r(3) C．－2eq \r(2) D．－2eq \r(3)


答案 D


解析 因为cs α＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以x<0，


又r＝eq \r(x2＋22)，由题意得eq \f(x,\r(x2＋22))＝－eq \f(\r(3),2)，


所以x＝－2eq \r(3).故选D.


3．有下列命题，其中正确的个数是( )


①终边相同的角的同名三角函数值相等；


②同名三角函数值相等的角也相等；


③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；


④不相等的角，同名三角函数值也不相等．


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 B


解析 对于①，由诱导公式一可得正确；


对于②，由sin 30°＝sin 150°＝eq \f(1,2)，


但30°≠150°，所以②错误；


对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，


但sin 60°＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2)，所以③错误；


对于④，由③中的例子可知④错误．


4．代数式sin(－330°)cs 390°的值为( )


A．－eq \f(3,4) B.eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(1,4)


答案 B


解析 由诱导公式可得，


sin(－330°)cs 390°＝sin 30°×cs 30°


＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)，故选B.


5．函数y＝eq \r(sin x)＋eq \r(－cs x)的定义域是( )


A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋π))，k∈Z


D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z


答案 B


解析 由sin x≥0，－cs x≥0，


得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，


所以2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z.


6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为 ．


答案 －4eq \r(3)


解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－eq \f(a,4)，


又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝eq \r(3)，


∴－eq \f(a,4)＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).


7．点P(tan 2 019°，cs 2 019°)位于第 象限．


答案 四


解析 因为2 019°＝5×360°＋219°，


所以2 019°与219°终边相同，是第三象限角，


所以tan 2 019°>0，cs 2 019°<0，


所以点P位于第四象限．


8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．


考点 三角函数值在各象限的符号


题点 三角函数值在各象限的符号


答案 (－2,3]


解析 由cs α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，))解得－2

9．已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝eq \f(5,12)，求sin α＋cs α的值．


解 根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,12)＝eq \f(5,12)，


所以a＝5，所以P(12,5)．这时r＝13，


所以sin α＝eq \f(5,13)，cs α＝eq \f(12,13)，从而sin α＋cs α＝eq \f(17,13).


10．化简下列各式：


(1)sin eq \f(7,2)π＋cs eq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋tan eq \f(π,4)；


(2)a2sin 810°－b2cs 900°＋2abtan 1 125°.


解 (1)原式＝sin eq \f(3,2)π＋cs eq \f(π,2)＋cs π＋1


＝－1＋0－1＋1＝－1.


(2)原式＝a2sin 90°－b2cs 180°＋2abtan 45°


＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.





11．如果点P(sin θ＋cs θ，sin θcs θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 C


解析 ∵P点位于第二象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ<0，,sin θ·cs θ>0，))


则有sin θ<0且cs θ<0，


∴角θ位于第三象限．


12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))


答案 A


解析 由三角函数定义可得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，


cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).





13．如果cs x＝|cs x|，那么角x的取值范围是 ．


答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z


解析 因为cs x＝|cs x|，所以cs x≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.


14．已知角α的顶点为坐标原点，以x轴的非负半轴为始边，它的终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则sin α＝ ，cs α＝ .


答案 －eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2)


解析 由三角函数的定义得r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(\f(1,4)＋\f(3,4))＝1，


则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2).





15．α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2)，则eq \f(α,2)所在象限是( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 B


解析 因为α是第三象限角，


所以2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z.


所以kπ＋eq \f(π,2)

所以eq \f(α,2)在第二、四象限．


又因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝－cs eq \f(α,2)，


所以cs eq \f(α,2)<0.


所以eq \f(α,2)在第二象限．


16．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．


(1)试判断角α所在的象限；


(2)若角α的终边上一点是M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．


解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，可知sin α<0，


由lg(cs α)有意义可知cs α>0，


所以角α是第四象限角．


(2)∵|OM|＝1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，


解得m＝±eq \f(4,5).


又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5).


由正弦函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).