高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.2.2　同角三角函数的基本关系

【课前预习】

知识点一

1　平方和　1　tan α　正切

知识点二

(1)1-cos2α　1-sin2α　(2)sin2α+cos2α±2sin αcos α　1±2sin αcos α　(3)cos αtan α　

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立,即sin2α+cos2α=1.

(2)当α=π时,=tan不成立.

(3)cos α=±.

(4)∵sin αcos α=>0,且0<α<π,∴0<α<,且sin α>0,cos α>0,又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,∴sin α+cos α=.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)∵cos α=-<0,

∴α是第二或第三象限角.

当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0,

∴sin α===,tan α==-;

当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,

∴sin α=-=-=-,

tan α==.

(2)由已知得

由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,

所以cos2α=,

又α∈π,,所以cos α<0,

所以cos α=-.

变式　解:(1)∵sin α+3cos α=0,∴sin α=-3cos α.

又sin2α+cos2α=1,∴(-3cos α)2+cos2α=1,

即10cos2α=1,∴cos α=±.

由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,

∴角α的终边在第二或第四象限.

当角α的终边在第二象限时, cos α=-,sin α=;

当角α的终边在第四象限时, cos α=,sin α=-.

(2)由tan α==,得sin α=cos α,

代入sin2α+cos2α=1,

得cos2α+cos2α=1,即cos2α=.

∵α是第三象限角,

∴cos α=-,sin α=cos α=-.

探究点二

例2　解:因为sin θ+cos θ=(0<θ<π),

所以(sin θ+cos θ)2=,

即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,

所以sin θcos θ=-.

易知θ为第二象限角,

所以sin θ-cos θ>0,

所以sin θ-cos θ===.

变式　解:由题知,(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,∵α∈,,∴cos α<sin α,故cos α-sin α=-.

由题知,(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=,∵α∈,,∴cos α>0,sin α>0,故cos α+sin α=.

探究点三

例3　解:(1)原式===.

(2)原式===-.

(3)原式====.

变式　解:由=2,化简得sin α=3cos α,易知cos α≠0,所以tan α=3.

(1)方法一(换元):原式===.

方法二(弦化切):原式===.

(2)原式=+1=+1=+1=.

拓展　C　[解析]  由得sin αcos α=-,又0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,

∴由解得∴tan α=-,

∴==-.

探究点四

例4　解:(1) 原式===1.

(2)原式=·

=·

=·

=·

=±1.

(3)方法一:原式==

=.

方法二:原式==

=

==.

方法三:原式==

===.

例5　证明:方法一:左边=

====右边.

所以等式成立.

方法二:右边=====左边.所以等式成立.

变式　证明:由tan2α=2tan2β+1,

可得tan2β=(tan2α-1),

即=-1,

故=-1=×,整理得=,

即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β)sin2α-,展开得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1.

拓展　1　[解析] sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+sin2β+cos2αcos2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=cos2β+sin2β=1.

【课堂评价】

1.D　[解析]  显然①②③④都成立.

2.B　[解析] 因为tan α=,所以cos α===.

3.C　[解析] 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.

4.A　[解析] 因为tan α=-,所以===.

5.C　[解析] 原式===-cos .

6.-　[解析] 由已知条件可得角θ的终边在第三象限,所以cos θ=-=-=-.