高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计

最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.

知识点　同角三角函数的基本关系式

　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

[教材解难]

同角三角函数的基本关系

(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1.

(2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.

(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．

[基础自测]

1．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝(　　)

A．－　B.

C.      D．－

解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.

答案：A

2．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是(　　)

A．－　　　B.

C.        D．－

解析：∵α∈(π，)，∴sin α<0.由tan α＝＝，

sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.

答案：A

3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　　)

A．－1   B．0

C．1     D．2

解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.

答案：C

4．已知tan α＝－，则的值是________．

解析：＝＝＝.

答案：

题型一　利用同角基本关系式求值[经典例题]

例1　(1)已知sin α＝，求cos α，tan α；

(2)已知tan α＝3，求.

【解析】　(1)因为sin α＝>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．

①当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；

②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，tan α＝－.

(2)分子、分母同除以cos2α，得＝.

又tan α＝3，所以＝＝.

　(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．

(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．

方法归纳

求同角三角函数值的一般步骤

(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．

(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．

(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．

跟踪训练1　(1)本例(2)条件变为＝2，求的值．

(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin α·cos α－5cos2α的值．

解析：(1)法一：由＝2，化简得sin α＝3cos α，

原式＝＝＝.

法二：由＝2得tan α＝3，

原式＝＝＝.

(2)原式＝

＝＝＝.

形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．

题型二　化简三角函数式[经典例题]

例2　化简：

(1)－；

(2) .

【解析】　(1)－＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)＝＝＝1.

(1)利用同角基本关系化简．

(2)注意1的活用．例如

1＋2sin 10 °cos 10 °＝sin210 °＋cos210 °＋2sin210 °cos 10 °＝(cos 10 ° ＋sin 10  ° )2

方法归纳

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．

跟踪训练2　(1)化简：；

(2)化简：sin2αtan α＋2sin αcos α＋.

解析：(1)原式＝

＝

＝＝1.

(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·＝＝＝.

(1)1－sin2130 °＝cos2130 °，

1－2sin 130 °cos 130 °＝

(sin 130 °－cos 130 °)2.

(2)式子中的tanα应化为，如果出现分式，一般应通分．

题型三　利用同角三角函数关系证明[教材P183例7]

例3　求证＝.

【证明】　证明1：由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，于是

左边＝

＝

＝

＝＝右边．

所以，原式成立．

证明2：因为(1－sin x)(1＋sin x)

＝1－sin2x＝cos2x

＝cos xcos x，

且1－sin x≠0，cos x≠0，

所以＝.

教材反思

证明简单三角恒等式的思路

(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．

(2)证明左右两边等于同一个式子．

(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.

(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

跟踪训练3　求证：

＝.

解析：证明：因为左边

＝

＝

＝＝＝右边，

所以等式成立．

左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．

题型四　sin α±cos α型求值[经典例题]

sinα＋cosα＝两边平方→求出2sinαcosα的值→求sinα－cosα的值

例4　已知sin α＋cos α＝，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．

【解析】　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，可得：sin α·cos α＝－.

因为0<α<π，且sin α·cos α<0，所以sin α>0，cos α<0.所以sin α－cos α>0，

又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.

方法归纳

已知sin α±cos α的求值问题的方法

对于已知sin α±cos α的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：

(1)用sin α表示cos α(或用cos α表示sin α)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sin α的值(或cos α的值)，再求其他，如tan α(体现方程思想)．

(2)利用sin α±cos α的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sin αcos α的值，然后求出sin α∓cos α的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sin α，cos α的值，再求其他.

跟踪训练4　已知x是第三象限角，且cos x－sin x＝.

(1)求cos x＋sin x的值；

(2)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值．

解析：(1)(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝，

所以2sin xcos x＝，

所以(cos x＋sin x)2＝1＋2sin xcos x＝，

因为x是第三象限角，所以cos x＋sin x<0，所以cos x＋sin x＝－.

(2)由

解得cos x＝－，sin x＝－，

所以2sin2x－sin xcos x＋cos2x＝2×－＋＝.

1.把cos x－sin x＝平方

2．注意x的范围

3．分别求出sin x、cos x

课时作业 30

一、选择题

1．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝＝＝，∴tan α＝＝＝－.

答案：D

2．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为(　　)

A.      B．±

C．－  D．±

解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.

答案：A

3．化简(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α     B．cos α

C．1＋sin α  D．1＋cos α

解析：(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.

答案：A

4．已知|sin θ|＝，且<θ<5π，则tan θ的值是(　　)

A.     B．－2

C．－  D．2

解析：因为<θ<5π，所以θ为第二象限角，所以sin θ＝，所以cos θ＝－，所以tan θ＝－.

答案：C

二、填空题

5．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.

解析：由已知得θ是第三象限角，

所以cos θ＝－＝－ ＝－.

答案：－

6．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.

解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝0，所以sin α－cos α＝0.

答案：0

7．已知＝2，则sin αcos α的值为________．

解析：由＝2，得＝2，∴tan α＝3，

∴sin αcos α＝＝＝.

答案：

三、解答题

8．已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)sin2α＋cos2α.

解析：(1)∵tan α＝3，∴cos α≠0.

原式的分子、分母同除以cos α，得

原式＝＝＝.

(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得

原式＝＝＝－.

(3)原式＝＝＝＝.

9．证明：·＝1.

解析：证明：·

＝·

＝·

＝＝＝1.

[尖子生题库]

10．已知－<x<0，sin x＋cos x＝，求下列各式的值．

(1)sin x－cos x；

(2).

解析：(1)∵sin x＋cos x＝，

∴(sin x＋cos x)2＝2，即1＋2sin xcos x＝，

∴2sin xcos x＝－.

∵(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝1－2sin xcos x＝1＋＝，

又－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，

∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－.

(2)由已知条件及(1)，可知，

解得，∴＝＝.