高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀导学案及答案

第五章 三角函数

5.2三角函数的概念

第1课时三角函数的概念

【课程标准】

1. 借助于单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
2. 掌握三角函数的定义域、值域以及三角函数在各个象限的符号
3. 掌握公式一，并会应用。

【知识要点归纳】

1.三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：

(1)叫做的正弦，记做，即；

(2)叫做的余弦，记做，即；

(3)叫做的正切，记做，即.

注解：

三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，那么，，。

2.三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

3.诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等

，其中

，其中

，其中

4.单位圆中的三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点，则有向线段0M、PM、AT分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.

【经典例题】

例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值；

（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。

【解析】  （1），

若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则：

，，。

若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则：，，，

（2）因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。

则（a≠0）。

若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以：

，，。

若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以：

，，。

【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.

【解析】由题设知，，所以，得，

从而，解得或.

当时，， ；

当时，， ；

当时，， .

【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。

【解析】 y=|2x|，，取点P（1，2），，

或

例2．（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；

（2）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？

（3）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？

【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角；

当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。

（2）因为sin＜0，cos＞0，所以为第四象限角。

（3）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），所以（k∈Z）。

当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。

又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。

综上知，角终边在第三象限。

【变式1】求函数的值域。

【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。

当x是第一象限角时，；

当x是第二象限角时，；

当x是第三象限角时，；

当x是第四象限角时，，

故函数的值域为{－1，3}。

例3．（1）；

（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。

【解析】（1）原式

               。

（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)

=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.

【变式1】已知为第三象限角，．

（1）化简；    （2）若，求的值．

【解析】（1）∵为第三象限角，

∴．

（2）若，∴，∴

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则　　

A． B． C． D．

2．角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

3．已知点是角终边上一点，则　　

A． B． C． D．

4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，若点是角终边上一点，则　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．如果，，那么角所在象限是　　．

6．函数的定义域为　　．

三．解答题（共2小题）

7．已知，求、的值．

8．（1）如果，，则是第几象限角．

（2）若，则是第几象限角．

（3）若与异号，则是第几象限角．

（4）若与同号，则是第几象限角．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则　　

A． B． C． D．

【分析】由题意可得，，求出，利用任意角的三角函数的定义，直接求出．

【解答】解：角的终边经过点，即，，

则．

所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．

2．角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，求得的值．

【解答】解：角的终边经过点，，

，，

故选：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，属于中档题．

3．已知点是角终边上一点，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用三角函数定义，求出，即可求出的值．

【解答】解：点是角终边上一点，

，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了三角函数定义，属于基础题．

4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，若点是角终边上一点，则　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出的值．

【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，

若点是角终边上一点，

则：，

利用三角函数的定义：，

解得：．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

二．填空题（共2小题）

5．如果，，那么角所在象限是　第二象限　．

【分析】根据题意，三角函数在四个象限符号的规律分析可得答案．

【解答】解：根据题意，若，为第一二象限的角，

，为第二四象限的角，

则，，则为第二象限的角，

故答案为：第二象限

【点评】本题考查三角函数值的符号，注意三角函数的定义以及三角函数在四个象限的符号，属于基础题．

6．函数的定义域为　，　．

【分析】由函数的解析式知，令被开方式即可解出函数的定义域．

【解答】解：，

，，

函数的定义域为，

故答案为：，．

【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握偶次方根被开方式的特点及性质是正确解答本题的关键，属基础题．

三．解答题（共2小题）

7．已知，求、的值．

【分析】由的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出、的值．

【解答】解：，，

，

当时，；当时，．

【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

8．（1）如果，，则是第几象限角．

（2）若，则是第几象限角．

（3）若与异号，则是第几象限角．

（4）若与同号，则是第几象限角．

【分析】利用同角三角函数的基本关系式化切为弦得答案．

【解答】解：（1）如果，即，则，由，是第一象限角．

（2）若，则即，是第二，三象限角．

（3）若与异号，则是第二，四象限角．

（4）若与同号，则是第一，二象限角．

【点评】本题考查三角函数的象限符号，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．