高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念导学案

  5．2.2　同角三角函数的基本关系

1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．

2．理解同角三角函数的基本关系式．

3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tanα＝.

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切(α≠kπ＋，k∈Z)．

温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．

(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　　)

(2)对任意角α，＝tan2α都成立．(　　)

(3)若cosα＝0，则sinα＝1.(　　)

(4)若sinα＝，则cosα＝＝.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

题型一  利用同角三角函数的基本关系式求值

【典例1】　(1)已知cosα＝－，求sinα和tanα.

(2)已知tanα＝3，求的值．

[思路导引]　利用同角三角函数的基本关系式求解．

[解]　(1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，

因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；

当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.

(2)原式＝＝＝－.

[变式]　(1)由本例(2)条件变为：“＝2”，求的值．

(2)若本例(2)条件不变，求sin2α＋cos2α的值．

[解]　(1)由＝2得tanα＝3，

所以原式＝＝＝.

(2)原式＝

＝＝＝.

　已知三角函数值求其他三角函数值的方法

(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±求得cosα的值，再由公式tanα＝求得tanα的值．

(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±求得sinα的值，再由公式tanα＝求得tanα的值．

(3)已知tanα＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．

(4)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．

[针对训练]

1．已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.

[解]　cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.

2．已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．

[解]　由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.

所以2sinαcosα－cos2α＝＝

＝＝－1.

题型二  三角函数式的化简

【典例2】　化简：(1)－；

(2).

[思路导引]　结合题目特点，利用平方关系求解．

[解]　(1)－

＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)＝

＝＝1.

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．

[针对训练]

3．化简：tanα，其中α是第二象限角．

[解]　因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.

原式＝tanα＝tanα

＝·＝·＝－1.

4．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β.

[解]　原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β

＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β

＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.

题型三  证明简单的三角恒等式

【典例3】　求证：＝.

[思路导引]　从一边证明，使它等于另一边．

[证明]　∵右边＝

＝＝

＝＝

＝左边，

∴原等式成立．

　证明三角恒等式常用的方法

(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．

(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．

(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．

(4)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.

[针对训练]

5．求证：·＝1.

[证明]　·＝·

＝·＝＝＝1.

课堂归纳小结

1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值．

2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：

(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量

不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．

3．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.

1．下列等式中恒成立的个数为(　　)

①sin21＝1－cos21；

②sin2α＋cos2α＝sin23＋cos23；

③sinα＝tanαcosα.

A．1    B．2 

C．3    D．0

[解析]　①②③都正确，故选C.

[答案]　C

2．已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　　)

A.    B．－ 

C.    D．－

[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin2θ＝1－cos2θ＝1－＝，又∵α是第四象限角，∴sinα<0，即sinθ＝－.

[答案]　B

3．化简(1－cosα)的结果是(　　)

A．sinα    B．cosα

C．1＋sinα    D．1＋cosα

[解析]　(1－cosα)＝(1－cosα)＝＝＝sinα.

[答案]　A

4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－    B．－ 

C.   D.

[解析]　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1

＝－1＝－.

[答案]　B

5．若tanθ＝－2，求sinθcosθ.

[解]　∵sinθcosθ＝＝

＝，而tanθ＝－2，

∴原式＝＝－.

课内拓展　课外探究

sinα±cosα与sinαcosα关系的应用

sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

【典例】　已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，求：

(1)sinαcosα；(2)sinα－cosα；(3)sin3α＋cos3α.

[解]　(1)由sinα＋cosα＝，

平方得2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－.

(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，

∴sinα－cosα＝±.

又由(1)知sinαcosα<0，∴α∈，

∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝.

(3)∵sin3α＋cos3α

＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)

＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，

由(1)知sinαcosα＝－，且sinα＋cosα＝，

∴sin3α＋cos3α＝×

＝×＝.

[点评]　(1)已知sinα±cosα，sinαcosα中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：

①(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；

②(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；

③(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；

④(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.

(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．

      课后作业(四十)

复习巩固

一、选择题

1．若α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于(　　)

A.    B．－ 

C.    D．－

[解析]　因为α是第四象限角，tanα＝－，所以＝－.

又sin2α＋cos2α＝1.所以sinα＝－.故选D.

[答案]　D

2．若cosα＝，则tanαsinα＝(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　由cosα＝得|sinα|＝，所以tanαsinα＝＝×＝.

[答案]　A

3．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于(　　)

A．0    B．1 

C．2    D．3

[解析]　∵cos2α＋cos4α＝cos2α(1＋cos2α)

＝(1－sin2α)(1－sin2α＋1)

∵sinα＋sin2α＝1，∴1－sin2α＝sinα

∴原式＝sinα·(sinα＋1)＝sin2α＋sinα＝1.

[答案]　B

4．化简的结果为(　　)

A．sin1－cos1    B．cos1－sin1

C．sin1＋cos1    D．－sin1－cos1

[解析]　易知sin1>cos1，所以＝＝sin1－cos1.故选A.

[答案]　A

5．已知sinα·cosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)

A.   B. 

C．－    D．±

[解析]　(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，因为<α<，所以sinα>cosα，所以cosα－sinα＝－.故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．若＝1，则tanα的值为________．

[解析]　＝1化为＝1，

所以2tanα＋1＝3tanα－2，所以tanα＝3.

[答案]　3

7．已知sinθ＝，且sinθ－cosθ>1，则tanθ等于________．

[解析]　因为sinθ－cosθ>1，所以cosθ<0，所以cosθ＝－＝－，所以tanθ＝＝－.

[答案]　－

三、解答题

8．化简：－(α为第二象限角)．

[解]　∵α是第二象限角，∴cosα<0.

则原式＝－

＝·－

＝＋＝＝＝tanα.

9．已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sinαcosα＋2.

[解]　因为＝－1，所以tanα＝.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝＋2

＝＋2＝＋2＝.

10．求证：＝.

[证明]　证法一：∵左边

＝

＝＝

＝

＝＝＝右边．

∴原式成立．

证法二：∵右边＝＝；

左边＝＝

＝＝.

∴左边＝右边，原式成立．

综合运用

11．若1＋sinθ·＋cosθ·＝0成立，则角θ不可能是 (　　)

A．第二、三、四象限角    B．第一、二、三象限角

C．第一、二、四象限角    D．第一、三、四象限角

[解析]　由于1＋sinθ·＋cosθ＝0，且1－sin2θ－cos2θ＝0，所以sinθ≤0，cosθ≤0，故选C.

[答案]　C

12．若＝3，则cosα－2sinα等于(　　)

A．－1    B．1

C．－    D．－1或－

[解析]　若＝3，则1＋cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cosα＝3sinα－1＝，

所以cosα－2sinα＝－.故选C.

[答案]　C

13．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.

[解析]　∵0<α<，∴<α＋<，

∴sin>0，

∴sin＝ ＝.

[答案]　

14．已知f(tanx)＝，则f(－)＝________.

[解析]　因为f(tanx)＝＝＝tan2x＋1，所以f(x)＝x2＋1，所以f(－)＝4.

[答案]　4

15．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.

(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(2)求tanA的值．

[解]　(1)由sinA＋cosA＝两边平方，得1＋2sinA·cosA＝，所以sinA·cosA＝－<0.

因为0<A<π，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．

(2)因为sinA·cosA＝－，

所以(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝1＋＝.

又因为sinA>0，cosA<0，所以sinA－cosA>0，

所以sinA－cosA＝.

又因为sinA＋cosA＝，所以sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝－.