高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

课程标准

(1)了解正弦函数、余弦函数的图象．(2)会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．

(3)能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　正弦函数、余弦函数的图象

助 学 批 注

批注❶　余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左(或右)平移(或)．

批注❷　“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．(　　)

(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．(　　)

(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(　　)

(4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(　　)

2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于(　　)

A.x轴对称

B.y轴对称

C.原点对称

D.直线y＝x对称

3．下列对y＝cos x的图象描述错误的是(　　)

A.在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同

B.介于直线y＝1与直线y＝－1之间

C.关于x轴对称

D.与y轴仅有一个交点

4．用“五点法”作函数y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应描出的五个点的坐标是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　用“五点法”作简图

例1　(1)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sin x－1的简图；

(2)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cos x＋3的简图．

方法归纳

用五点法作函数y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的一般步骤

巩固训练1　用“五点法”画出y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图．

题型 2　利用正弦(余弦)函数图象解三角不等式

例2　使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)

A．

B．

C．

D．

方法归纳

用正、余弦曲线解三角不等式一般步骤

巩固训练2　在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________．

题型 3　利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题

例3　已知函数f(x)＝2cos x＋1，x∈的图象与直线y＝t有两个交点，则t的最大值为(　　)

A.  1             B．2

C．＋1          D．＋1

方法归纳

画出函数的图象，利用函数的图象与直线的交点来解决．

巩固训练3　若方程sin x＝4m＋1在[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

(，1)　(π，0)　(，－1)　(，0)　(π，－1)　(，0)

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：设y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝－sin x，

所以有g(x)＝－f(x)，

因此两个函数的图象关于x轴对称．

答案：A

3．解析：由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0，2π]和[4π，6π]相差4π，故图象形状相同，只是位置不同，A正确；

由余弦函数的值域为[－1，1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，B正确；由余弦函数的图象

可得C错误，D正确．

答案：C

4．解析：x＝0，y＝0；x＝，y＝－1；x＝π，y＝0；x＝，y＝1；x＝2π，y＝0，

所以五个点的坐标是(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)．

答案：(0，0)，(，－1)，(π，0)，(，1)，(2π，0)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)①列表：

②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．

(2)由条件列表如下：

描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．

巩固训练1　解析：(1)列表：

(2)描点：在坐标系内描出点(0，2)，(，3)，(π，2)，(，1)，(2π，2)．

(3)作图：将上述五点用光滑的曲线顺次连接起来(实线)．

例2　解析：原不等式可化为sin x≤，在同一直角坐标系中作出正弦曲线及直线y＝，如图所示．

由图知，不等式的解集为

.

答案：C

巩固训练2　解析：画出y＝cos x在[0，2π]上的简图，如图所示．

由于cos x＝－时，x＝或x＝.

由图象可知，在[0，2π]上，使cos x≤－成立的角x的取值集合为.

答案：

例3　解析：由2cos x＋1＝t可得cos x＝，

所以当x∈时，由y＝cos x与y＝有两个交点可得的最大值为，所以t的最大值为＋1.

答案：D

巩固训练3　解析：由正弦函数的图象，

知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，

要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.

答案：