人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念获奖教案

                        课题：5.2 三角函数的概念单元教学设计

一、内容和及其解析

（一）内容

三角函数的概念，三角函数值的符号，诱导公式一，同角三角函数的基本关系.

本节知识结构框图

（二）内容解析

1. 内容本质

现实世界中存在各种各样的运动变化现象，基本初等函数是对其中基本的变量关系和规律的刻画，例如线性函数、指数函数和对数函数分别刻画了“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等现象.“周而复始”现象随处可见，要用周期函数进行刻画，其中最典型的是三角函数.三角函数是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的基础.

三角函数概念的建构过程与前面各类基本初等函数概念的建构过程不同.幂函数、指数函数等是通过具体实例的共性归纳而抽象出来的，而三角函数概念是直接由单位圆上点的运动规律的描述得到的.三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.

三角函数值的符号规律是三角函数的一条性质.根据定义得出三角函数的定义域和函数值的符号规律，对于三角函数值的符号，只要根据定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）,就可以容易地得出判断.

公式一从代数的角度揭示了三角函数值的周期变化规律，即“角的终边每绕原点旋转一周，函数值重复出现”，这体现了几何与代数的融合.

三个三角函数都是由“角的终边与单位圆的交点”这一共同背景所决定的，并且之间有确定的关系,在此基础上探究出确定的三个三角函数之间的关系.

2.蕴含的思想方法

三角函数概念的形成中，通过数学抽象，将匀速圆周运动归结到单位圆上点的运动规律的刻画，进而建立三角函数的概念，整个探究过程经历从形到数的思维，蕴含着数形结合的思想、对应的思想，发展直观想象与数学抽象素养.

从几个特殊角出发，归纳出共同特征，再概括形成三角函数的概念，这是特殊到一般的研究方法．利用定义证明同角三角函数的基本关系过程，最后形成标准化的求解步骤，蕴含着算法思想．

3.知识的上下位关系

首先“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再给定义.这是在一般函数概念引导下的“下位学习”，由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.

用单位圆上点的坐标定义三角函数，使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定了思维基础.

从整体上看，三角函数处于高中数学课程内容的结合点上，它与向量、复数、解析几何等有着紧密的联系，可以通过加强三角函数在后续相关内容中的应用来体现（如解三角形），也可以通过用向量、复数的方法重新推导三角变换公式来实现，是后续知识学习的基础.

4. 育人价值

学生经历完整的三角函数的概念形成过程，体会了从特殊到一般，从直观到抽象思想，发展了数学抽象、直观想象等数学核心素养；在利用定义判断三角函数值的符号和同角三角函数基本关系的过程中，有利于发展逻辑推理、数学运算的核心素养；本单元的研究路径：明确研究对象--对应关系特点的分析--定义--性质，体悟研究问题的一般观念.

5.教学重点

正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，公式一，同角三角函数的基本关系.

二、目标及其解析

（一）目标

1. 了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切关系.

2.经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,发展数学抽象素养.

3.掌握三角函数值的符号.

4.掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性.

5.理解同角三角函数的基本关系式：，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系进行三角恒等变换，发展数学运算素养.

（二）目标解析

达成上述目标的标志是：

1.学生能如同了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性.

2. 学生在经历“周期现象--圆周运动--单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆☉上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），学生在教师引导下，发现对任意角，点P 的横坐标x、纵坐标y 都是唯一确定的，建立三角函数的概念，体会三角函数的这种对应与以往的函数有所不同，不是通过运算建立的对应，是自变量a 与函数值之间的直接对应；能够根据定义求给定角的三角函数值.

3.学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律.

4.学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出公式一，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值.

5.学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换.

三、教学问题诊断分析

1.问题诊断及破解方法

问题1.三角函数概念的学习，学生认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验及圆的有关认识，在本节学习中能起到思路引领作用.然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）、解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“与，直接对应”，无须计算.虽然，，都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”，所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生学习难点:理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解.

破解方法：为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.具体的，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务，例如“当时，请找出相应点P的坐标”并让学生体会到点P的坐标的唯一确定性，再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础，教学三角函数时，要恰当利用信息技术.

问题2.学生对三角函数的定义的理解存在困难.

破解方法：

首先，是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），的意义实际上是“对于R中的任意一个数”；

其次“的终边与单位圆交于点”，实际上给出了两个对应关系，即，①实数(弧度）对应于点P的纵坐标y，其次，实数(弧度）对应于点P的横坐标x，其中y  [-1，1].因为对于R中的任意一个数，它的终边唯一确定，所以交点也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都由唯一确定，所以对应关系①②分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键;另外，认识符号sin，cos和tan，可以类比符号表示中的，并说明引进这些符号的意义.

问题3.由于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强.为此，学生对三角函数内在联系性的本质认识存在困难.

破解方法：

教学中应在思想方法上加强引导.例如，通过设置问题逐步加深三个函数联系的理解，“对于给定的角，点P（cos，sin）是的终边与单位圆的交点，而tan则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系，从定义出发，研究一下它们有怎样的联系，引导学生探究同角三角函数基本关系.

2.教学难点

理解三角函数的定义方式,三角函数内在联系性的认识.

四、教学支持条件

学生对一般函数概念及基本初等函数的学习经验的积累，对现实生活中“周而复始”现象的理解都成为本单元学习的基础.

信息技术的适当使用有利于培养学生的直观想象能力，如，三角函数概念的抽象，可以通过GGB软件动态改变角的终边(为终边与单位圖的交点)的位置，引导学生观察终边位置的变化所引起的点坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在各象限中符号的变化情况.

五、课时分配

本单元分3课时

第1课时，三角函数的概念；

第2课时，三角函数的定义域和函数值的符号规律；

第3课时，同角三角函数的基本关系.