数学必修 第一册4.4 对数函数导学案

第2课时　对数函数及其性质的应用

课程标准

(1)进一步理解对数函数的性质．(2)能运用对数函数的性质解决相关问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　对数型复合函数的单调性❶

复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为________；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为________．

对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．

助 学 批 注

批注❶　三看：

(1)看底数是否大于1，

(2)看函数的定义域，

(3)看复合函数的构成．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．(　　)

(2)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝logax在(0，＋∞)上也是增函数.(　　)

(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．(　　)

(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).(　　)

2．已知a＝log20.6，b＝log20.8，c＝log21.2，则(　　)

A．c>b>a    B．c>a>b

C．b>c>a    D．a>b>c

3．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)　    B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)　    D．(0，＋∞)

4．不等式log4x≤的解集为________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　比较对数值的大小

例1　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　)

    B．log1.51.6＞log1.51.4

C．log0.57＜log0.67    D．log3π＞log20.8

方法归纳

比较对数值大小的三种常用方法

巩固训练1　若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　)

A．x<y<z    B．z<x<y

C．y<x<z    D．z<y<x

题型 2　解对数不等式

例2　已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　)

A．(，＋∞)    B．(－∞，)

C．(－)    D．(0，)

方法归纳

对数不等式的2种类型及解法

巩固训练2　已知loga>1，则a的取值范围为________.

题型 3　对数型复合函数的单调性

例3　若函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)     B．(2，＋∞)

C．(0，2]        D．[2，＋∞)

方法归纳

已知对数型函数的单调性求参数的取值范围

一要结合复合函数的单调性规律，二要注意函数的定义域．

巩固训练3　函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)　    B．(－∞，1)　

C．(1，＋∞)        D．(4，＋∞)

题型 4　对数型函数性质的综合应用

例4　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)的单调性．

方法归纳

解决对数型函数性质的策略

巩固训练4　已知奇函数f(x)＝ln .

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明．

第2课时　对数函数及其性质的应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

增函数　减函数

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：∵y＝log2x在定义域上单调递增，

∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.

答案：A

3．解析：函数的定义域为(－∞，2)

因为函数y＝2－x在(－∞，2)上为减函数．

又0<<1，所以函数f(x)＝的单调增区间是(－∞，2).

答案：A

4．解析：由题设，可得：log4x≤log4 ，则0<x≤＝2，

∴不等式解集为(0，2].

答案：(0，2]

题型探究·课堂解透

例1　解析：A中，因为函数y＝ 是减函数，且0.5<0.6，所以>，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以 < ，即log0.67<log0.57，C不正确；D中，因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8，D正确．

答案：BD

巩固训练1　解析：∵4x＝5y＝20，

根据指数与对数的关系和y＝logax(a>1)为增函数：

x＝log420>log416＝2，

y＝log520，由log55<log520<log525，即1<log520<2，故1<y<2.

∴1<y<x.

可得logxy<logxx＝1，即z<1

综上：z<y<x.

答案：D

例2　解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.

答案：A

巩固训练2　解析：由loga>1得loga>logaa.

①当a>1时，有a<，此时无解．

②当0<a<1时，有<a，

从而<a<1.

∴a的取值范围是(，1)．

答案：(，1)

例3　解析：函数f(x)＝ln (ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，

而函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，

因此，，解得a≥2，

所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．

答案：D

巩固训练3　解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．

答案：D

例4　解析：(1)由>0，∴f(x)的定义域为(－4，4)，关于原点对称，

又f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数；

(2)∵t＝＝－1＋在(－4，4)上单调递减，

又当0<a<1时，y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，

当a>1时，y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，

∴当0<a<1时，f(x)＝loga在(－4，4)上单调递增，

当a>1时，f(x)＝loga在(－4，4)上单调递减．

巩固训练4　解析：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即ln ＝－ln .

∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，

经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.

(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln (·)＝ln .

∵1<x1<x2，∴x2－x1>0，>1，

∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．