人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质第三课时学案及答案

第四章 指数函数与对数函数

4.4对数函数

第3课时不同函数增长的差异

【课程标准】

1. 掌握常见增长函数的定义、图像、性质，并体会其增长速度的差异
2. 理解直线增长、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较

【知识要点归纳】

1.函数模型

一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

2.三种常见函数模型的增长差异

思考：已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.

(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？

(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？

【经典例题】

三种函数模型的增长规律：

(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．

(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．

(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.

例1 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数函数变化的变量是__ __.

[跟踪训练]1 (1)下列函数中，增长速度最慢的是(　　)

A．y＝6x B．y＝log6x

C．y＝x6 D．y＝6x

(2)有一组数据如下表：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．v＝log2t 

C．v＝ D．v＝2t－2

根据题意选择合适的函数增长模型；不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

例2　某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

如果我们分别将2016,2017,2018,2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？

[跟踪训练]2  某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

【当堂检测】

一．解答题（共2小题）

1．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的解析式；

（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．

2．为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等）对辖区内的污水进行净化．为了净化工作更加科学有效，环保部门对某水域内2018年年底投入的浮萍生长情况作了调查，测得该水域2019年二月底浮萍覆盖面积为，三月底浮萍覆盖面积为．若浮萍覆盖面积（单位：与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）分别求出两个函数模型的解析式；

（2）已知市环保部门在2018年年底在该水域厂投放了的浮萍，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；

（3）利用（2）的结论，试估算至少到几月底该水域的浮萍覆盖面积能达到

（参考数据：，

当堂检测答案

一．解答题（共2小题）

1．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的解析式；

（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．

【分析】（1）由题意可设，，代入表格中的两组数据即可求出，的值，从而得到函数解析式；

（2）由题意可设，代入表格中的数据即可求出的值，从而得到函数解析式；

（3）利用描点法在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；呈指数型增长，增长速度较快．

【解答】解：（1）由题意可设，，

当时，；当时，，

，解得：，

；

（2）由题意可设，

当时，，，，

；

（3）表中数据如下：

在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：，

有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；呈指数型增长，增长速度较快．

【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．

2．为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等）对辖区内的污水进行净化．为了净化工作更加科学有效，环保部门对某水域内2018年年底投入的浮萍生长情况作了调查，测得该水域2019年二月底浮萍覆盖面积为，三月底浮萍覆盖面积为．若浮萍覆盖面积（单位：与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）分别求出两个函数模型的解析式；

（2）已知市环保部门在2018年年底在该水域厂投放了的浮萍，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；

（3）利用（2）的结论，试估算至少到几月底该水域的浮萍覆盖面积能达到

（参考数据：，

【分析】（1）利用待定系数法即可求出两个函数的函数解析式；

（2）若用模型，则当时，，若用模型，则当时，，易知，使用模型更为合适；

（3）由，故．所以到2020年1月底该水域的浮萍覆盖面积达到．

【解答】解：（1）由已知，，所以，

由已知，，所以；

（2）若用模型，则当时，，

若用模型，则当时，，

易知，使用模型更为合适；

（3）由，

故．

到2020年1月底该水域的浮萍覆盖面积达到

【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．