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    人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质第二课时学案及答案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优质第二课时学案及答案,共11页。学案主要包含了课程标准,知识要点归纳,经典例题,当堂检测,(3),(1)等内容,欢迎下载使用。

    第四 指数函数与对数函数

    4.3对数函数

    2课时对数函数图像与性质及其应用

    【课程标准】

    1进一步理解对数函数的性质.

    2.  能运用对数函数的性质解决相关问题,例如单调性、比较大小、值域等问题.

    【知识要点归纳】

    1.对数型复合函数的单调性

    复合函数yf[g(x)]是由yf(x)yg(x)复合而成,若f(x)g(x)的单调性相同,则其复合函数f[g(x)]__   __;若f(x)g(x)的单调性相反,则其复合函数f[g(x)]__    _.

    对于对数型复合函数ylogaf(x)来说,函数ylogaf(x)可看成是ylogauuf(x)两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性同增异减的规律即可判断.另外,单调区间必须是定义域的子集,任何一个端点都不能超出定义域

    2.数型复合函数的值域

    对于形如ylogaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:

    (1)分解成ylogauuf(x)两个函数;

    (2)f(x)>0,求出函数的定义域;

    (3)u的取值范围;

    (4)利用ylogau的单调性求解.

    3.对数函数图像分布规律

      做直线y=1与所给图像相交,在第一象限,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数大小

    4.比较对数的大小

    (1)同底数利用对数函数的单调性

    (2)同真数的利用图像分布规律或换底公式

    (3)底数和真数都不相同的,找中间值

    (4)若底数为参数,则需分类讨论

    5.对数不等式的解法

    (1)将不等式两边换成同底

    (2)利用对数函数的单调性

    (3)若底数含参数,则需要分类讨论

    【经典例题】

    比较大小

    1 比较下列各组中两个值的大小:

    (1)log31.9log32

    (2)log23log0.32

    (3)logaπloga3.14(a>0a≠1).

     

     

     

    [跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0a≠1)(  )

    A.loga5.1<loga5.9  B.log2.1>log2.2

    C.log1.1(a1)<log1.1a  D.log32.9<log0.52.2

     

     

     

     

    对数型复合函数的单调性

    1.求复合函数单调性的具体步骤是:(1)求定义域;(2)拆分函数;(3)分别求yf(u)uφ(x)的单调性;(4)同增异减得出复合函数的单调性.

    2.复合函数yf[g(x)]及其里层函数μg(x)与外层函数yf(μ)的单调性之间的关系(见下表).

    函数

    单调性

    yf(μ)

    增函数

    增函数

    减函数

    减函数

    μg(x)

    增函数

    减函数

    增函数

    减函数

    yf[g(x)]

    增函数

    减函数

    减函数

    增函数

     

    2 求函数ylog0.3(32x)的单调区间;

     

     

     

     

    3 讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.

    注意:求复合函数的单调性时,必须首先考虑函数的定义域,单调区间必须是定义域的子集.

     

     

     

     

    [跟踪训练]2  (1)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(  )

    A.(,-2)  B.(1)

    C.(1,+∞)  D.(4,+∞)

    2)函数f(x)log(3x2ax7)[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.

     

     

     

    对数型复合函数的奇偶性

    注意:判断函数的奇偶性时,首先要注意求函数的定义域,函数具有奇偶性,其定义域必须关于原点对称.

    4 已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)(a>0a≠1)

    (1)f(x)的定义域;

    (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明.

     

     

     

     

     

    [跟踪训练]3 设函数f(x)ln(1x)ln(1x),则f(x)(   )

    A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

    B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

    C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

    D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

     

    对数型复合函数的值域

    1.与对数函数有关的复合函数值域:求与对数函数有关的复合函数的值域,一方面,要抓住对数函数的值域;另一方面,要抓住中间变量的取值范围,利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)

    2.对于形如yloga f(x)(a>0,且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤:分解成ylogauuf(x)两个函数;f(x)的定义域;u的取值范围;利用ylogau的单调性求解.

    5 求下列函数的值域:

    (1)ylog2(x24)

    (2)y(32xx2)

     

     

     

     

    [跟踪训练]4 函数f(x)log2(3x1)的值域为(   )

    A(0,+∞) B[0,+∞)

    C(1,+∞) D[1,+∞)

     

    解对数不等式

    注意:两类对数不等式的解法

    (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.

    0<a<1时,可转化为f(x)>g(x)>0

    a>1时,可转化为0<f(x)<g(x).

    (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<blogaab.

    0<a<1时,可转化为f(x)>ab

    a>1时,可转化为0<f(x)<ab.

    6 已知log0.3(3x)<log0.3(x1),则x的取值范围为(  )

    A.  B.

    C.  D.

     

    [跟踪训练]5  不等式log(2x3)<log(5x6)的解集为(  )

    A.(3)  B.

    C.  D.

    【当堂检测】

    一.选择题(共4小题)

    1.设,则  

    A B C D

    2.已知,则大小关系为  

    A B C D

    3.已知全集为实数集,集合,则等于  

    A B C D

    4.已知函数的值域为,则实数的取值范围为  

    A B 

    C D

    二.填空题(共3小题)

    5.函数的最大值为  

    6.若函数有最小值,则的取值范围是  

    7.函数上的最大值与最小值之和为,则的值为   

    三.解答题(共2小题)

    8.已知函数的定义域是.设

    1)求函数的解析式及定义域;

    2)求函数的最值.

    9.设为奇函数,为常数.

    1)求的值;

    2)证明在区间内单调递增;

    3)若对于区间上的每一个的值,不等式恒成立,求实数的取值范围.


    当堂检测答案

    一.选择题(共4小题)

    1.设,则  

    A B C D

    【分析】可以得出,然后即可得出的大小关系.

    【解答】解:

    故选:

    【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,指数函数的值域,考查了计算能力,属于基础题.

    2.已知,则大小关系为  

    A B C D

    【分析】可以得出,然后即可得出的大小关系.

    【解答】解:

    故选:

    【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题.

    3.已知全集为实数集,集合,则等于  

    A B C D

    【分析】可以求出集合,然后进行补集和交集的运算即可.

    【解答】解:

    故选:

    【点评】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,对数函数的定义域和单调性,交集和补集的运算,考查了计算能力,属于基础题.

    4.已知函数的值域为,则实数的取值范围为  

    A B 

    C D

    【分析】结合对数函数的值域为,等价转化为值域的子集,利用一元二次函数的性质进行转化求解即可.

    【解答】解:函数的值域为

    ,则能取遍所有的正数,即值域的子集,

    时,的值域为,满足条件.

    时,要使值域的子集,则满足

    此时

    综上所述,

    故选:

    【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,利用对数函数的值域为,等价转化为值域的子集是解决本题的关键.

    二.填空题(共3小题)

    5.函数的最大值为 0 

    【分析】根据二次函数的性质求出真数的范围,即可求出结论.

    【解答】解:令

    对称轴为

    时,

    时,

    函数的最大值为:

    故答案为:0

    【点评】本题主要考查对数函数以及二次函数的性质,属于基础题.

    6.若函数有最小值,则的取值范围是  

    【分析】先根据复合函数的单调性确定函数的单调性,进而分两种情况讨论:时,考虑对数函数的图象与性质得到的函数值恒为正;时,△恒成立,没有最大值,从而不能使得函数有最小值.最后取这两种情形的并集即可.

    【解答】解:令

    时,上单调递增,

    要使有最小值,必须

    解得

    时,没有最大值,从而不能使得函数有最小值,不符合题意.

    综上所述:

    故答案为:

    【点评】本题考查对数函数的值域最值,着重考查复合函数的单调性,突出分类讨论与转化思想的考查,是中档题.

    7.函数上的最大值与最小值之和为,则的值为  

    【分析】无论,还是时,则函数上单调,由题意可得:,解得,即可得出.

    【解答】解:无论,还是时,则函数上单调,

    由题意可得:,解得

    故答案为:

    【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

    三.解答题(共2小题)

    8.已知函数的定义域是.设

    1)求函数的解析式及定义域;

    2)求函数的最值.

    【分析】第一步得到解析式和的范围后注意整理;第二步换元时要注意新元的范围,为下面的函数求值域做好基础.

    【解答】解:(1)由题意可得

    ,且

    进一步得:,且定义域为【28】,

     

    2)令,则

    在【13】递减

    的值域为【3),1)】,即【1】,

    时,有最小值

    时,有最大值1

    【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法,确定定义域和换元需注意的地方,并综合考查了二次函数求最值,综合性较强,难度不大.

    9.设为奇函数,为常数.

    1)求的值;

    2)证明在区间内单调递增;

    3)若对于区间上的每一个的值,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    【分析】1)由奇函数的定义,结合对数的运算性质,可得

    2)运用单调性的定义,结合对数函数的单调性即可得证;

    3)由题意可得即恒成立.令.只需,由的单调性即可得到最小值.

    【解答】解:(1)由是奇函数,即为

    ,即有

    即有,解得

    检验(舍,故

    2)由(1)知

    证明:任取,即有

    ,即

    即有

    内单调递增.

    3)对于上的每一个的值,不等式恒成立,

    恒成立.

    .只需

    又易知上是增函数,

    2

    则当时原式恒成立.

    【点评】本题考查函数的性质和运用,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和函数的单调性,属于中档题.

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