数学4.4 对数函数优秀当堂检测题

第2讲：对数与对数函数 (重点题型方法与技巧)

目录

类型一：换底公式的应用

类型二：有附加条件的对数求值问题

类型三：与对数函数有关的函数图象

角度1：对数型函数图象过定点问题

角度2：对数函数图象的识别

角度3：画对数函数的图象

类型四：与对数函数有关的值域问题

类型五：对数函数的单调性及应用

角度1：利用对数函数的单调性比较大小

角度2：利用对数函数的单调性解不等式

角度3：对数型复合函数的单调性的问题

类型六：与对数函数相关的综合问题

类型七：新定义问题

类型一：换底公式的应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C． D．

例题3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）

（参考数据：，）

A．12 B．11 C．10 D．9

同类题型演练

1．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高一单元测试）其类蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）（    ）

A． B． C． D．2

类型二：有附加条件的对数求值问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）

A．1 B．2 C．5 D．4

例题2．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）若，则的最小值为________．

例题3．（2022·全国·高一单元测试）约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，则，现已知，，则______，______

同类题型演练

1．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知，，则______．

2．（2022·浙江·高二开学考试）已知，，则_________．

类型三：与对数函数有关的函数图象

角度1：对数型函数图象过定点问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象恒过定点，则为（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·北京顺义·高一期末）函数恒过定点________.

例题3．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为___________.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数的图象一定过定点__________.

2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）函数且的图象恒过定点__________.

角度2：对数函数图象的识别

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则，，，，1的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

例题3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））函数的大致图象为（    ）

A． B．

C．D．

同类题型演练

1．（2022·浙江浙江·高一期中）函数的图像的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

2．（多选）（2022·河北深州市中学高一期末）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（    ）

A．B．

C． D．

角度3：画对数函数的图象

典型例题

例题1．（2021·全国·高一课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：

(1)；(2)；(3)；(4)．

同类题型演练

1．（2021·全国·高一专题练习）作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性．

（1）；    （2）；    （3）．

类型四：与对数函数有关的值域问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·上海市实验学校高三开学考试）函数的值域为________

例题3．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.

例题4．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高三开学考试）已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．

例题5．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是__________．

例题6．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的最大值及相应的．

例题7．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.

(1)当时，求该函数的值域；

(2)若，对于恒成立，求实数的取值范围.

同类题型演练

1．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_____

4．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数．

(1)求在区间上的值域；

(2)设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

5．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知函数.

(1)若 ， 求 的取值范围;

(2)当时， 求函数 的值域.

类型五：对数函数的单调性及应用

角度1：利用对数函数的单调性比较大小

典型例题

例题1．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）若，，，则正确的是（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·贵州黔西·高二期末（理））设，，，则（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）设，则，， ，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小．

(1)，；

(2)，；

角度2：利用对数函数的单调性解不等式

典型例题

例题1．（2022·吉林·永吉县第四中学高三阶段练习）函数的定义域为（    ）.

A．（1，2] B．（﹣∞，2]

C．（1，+∞） D．[2，+∞）

例题2．（2022·河南新乡·高一期末）已知函数，则不等式的解集为__________．

例题3．（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：（，且）．

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习（文））关于x的不等式的解集为_________．

2．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式．

3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点．

(1)求m，n的值；

(2)求关于x的不等式的解集．

角度3：对数型复合函数的单调性的问题

典型例题

例题1．（2022·吉林·永吉县第四中学高三阶段练习）函数的递增区间为（    ）

A．  B．

C． D．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______，单调递减区间为______．

例题3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例题4．（多选）（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为值的是（    ）

A． B． C． D．

例题5．（2022·湖北·高三开学考试）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）函数的单调递减区间是（    ）．

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．

3．（2022·全国·高一课时练习）满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为___________.

类型六：与对数函数相关的综合问题

典型例题

例题1．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数，，且．

(1)证明：在定义域上是增函数；

(2)若，求的取值集合．

例题2．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．

(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；

(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；

(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例题3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数是偶函数．

(1)求的值；

(2)若函数，且在区间上为增函数，求的取值范围．

例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．

(1)当时，求在上的最大值与最小值；

(2)求在上的最小值．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．

(1)若函数的定义域为，求实数的值；

(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；

(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

(1)求的值；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；

(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．

(1)求实数a的值；

(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．

4．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）已知幂函数 为偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数 的定义域为，求函数的值域．

类型七：新定义问题

典型例题

例题1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率约为（    ）（参考数据：）

A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%

例题2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·江西·金溪一中高二阶段练习（理））中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（    ）

A． B．

C． D．

例题4．（2022·全国·高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为（    ）（注：素数即质数，）

A．2172 B．4343 C．869 D．8686

同类题型演练

1．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（    ）

参考数据：；参考时间轴：

A．战国 B．汉 C．唐 D．宋

3．（2022·北京·高二期末）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（    ）（，）

A． B． C． D．

4．（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（    ）

A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟