高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算学案

第2课时　补集及综合应用

课程标准

(1)理解全集、补集的概念．(2)准确理解和使用补集符号、Venn图．(3)会求补集，并运用交集、并集、补集知识解决集合综合运算问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　全集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集❶，通常记作____．

要点二　补集

助 学 批 注

批注❶　全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实数范围内解不等式，全集为实数集R；在整数范围内解不等式，全集为整数集Z.

批注❷　补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈∁UA，二者必居其一且只具其一．(　　)

(2)全集没有补集．(　　)

(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．(　　)

(4)已知集合A＝{x| x＜1}，则∁RA＝{ x | x＞1}(　　)

2．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM等于(　　)

A．∅        B．{a，c}

C．{b，d}    D．{a，b，c，d}

3．已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x<3}，∁UA＝(　　)

A．{x|x≤－2}     B．{x|x<－2或x≥3}

C．{x|x≥3}       D．{x|x≤－2或x≥3}

4．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　补集的运算

例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为 (　　)

A．{x∈R|0＜x＜2}　　  B．{x∈R|0≤x＜2}

C.{x∈R|0＜x≤2} 　    D．{x∈R|0≤x≤2}

(2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________， ∁UB＝________．

方法归纳

求解补集的策略

巩固训练1　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝________．

题型 2　 集合并、交、补的综合运算

例2　(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，则∁U(M＝(　　)

A．{2，3，4，5}    B．{5}

C．{1，6}          D．{1，2，3，4，6}

(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{x|x<－3}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|x<－3}        B．{x|－3<x<3}

C．{x|－3≤x≤3}    D．{x|x<3}

方法归纳

集合并、交、补综合运算的求解方法

一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A时，先求出A再求补集．

巩固训练2　(1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，则(∁UA)＝(　　)

A．{－2，4}       B．{－2，1}

C．{－2，1，4}    D．{－2，－1，1，4}

(2)集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|x<2或x>4}，则集合A∪(∁RB)＝(　　)

A．R            B．{x|2≤x<3}

C．{x|1<x≤4}    D．∅

题型 3　与补集有关的参数值的求解

例3　已知全集U＝R，设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}．

(1)若(∁UA)＝∅，求实数m的取值范围；

(2)若(∁UA)求实数m的取值范围．

方法归纳

由集合的补集求参数的策略

巩固训练3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，求实数a的取值范围．

第2课时　补集及综合应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

所有元素　U

要点二

不属于集合A　{x|x∈U，且x∉A}　U　∅　A　

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：∁UM＝{b，d}．

答案：C

3．解析：A＝{x|－2<x<3}，

所以∁UA＝{x|x<－2或x≥3}．

答案：B

4．解析：因为全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝{0，1}．

答案：{0，1}

题型探究·课堂解透

例1　

解析：(1)借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}．

(2)方法一：在集合U中，

因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，

所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．

又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，B＝{－3，3，4}，

所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．

方法二：可用Venn图表示：

则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．

答案：(1)C　(2){－5，－4，3，4}　{－5，－4，5}

巩固训练1　解析：借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x＞4}．

答案：{x|x＝－3或x>4}

例2　解析：(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，

所以M＝{2，3，4，5}，所以∁U(M＝{1，6}．

(2)由题意，∁UB＝{x|x≥－3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤3}．

答案：(1)C　(2)C

巩固训练2　解析：(1)因为U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，所以∁UA＝{－2，－1，4}，(∁UA)＝{－2，4}．

(2)由题意，集合B＝{x|x<2或x>4}，可得∁RB＝{x|2≤x≤4}，又由A＝{x|1<x<3}，所以A∪(∁RB)＝{x|1<x≤4}．

答案：(1)A　(2)C

例3　解析：(1)由已知A＝{x|x≥－m}，

得∁UA＝{x|x＜－m}，

因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)＝∅，

在数轴上表示，如图，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，

所以∁UA＝{x|x＜－m}，

又(∁UA)所以－m＞－2，解得m＜2.

所以m的取值范围是{m|m＜2}．

巩固训练3　解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}，

①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；

②若B≠∅，则由B⊆∁RA，

得2a≥－1且2a＜a＋3，即－≤a＜3.

综上可得，实数a的取值范围是{a|a≥－}．