突破4.4 对数函数（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.4 对数函数一、考情分析二、考点梳理考点一 对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质三、题型突破(一) 对数函数的概念与图像例1、（1）给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝logx+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝logx+1x的底数为x+1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．（2）．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.所以，因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.故选：D.【变式训练1-1】、函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)【答案】A【解析】选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.【变式训练1-2】、（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）A． B． C． D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．例2．（1）、函数y＝的图象大致是(　　)【答案】B【解析】当x＜0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.（2）、计算：＋log2(log216)＝________.【答案】：【解析】：原式＝＋log24＝＋2＝.【变式训练2-1】．（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】∵，∴若，则，即．∴，故A正确．，故D正确．若，则，∴，，故BC错误， 故选：AD【变式训练2-2】．已知函数，则_______.【答案】【解析】．故答案为：－1【变式训练2-3】．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．(二)、 比较大小例3．（1）、（2019·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y＝log0.5x，在上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵，在上为增函数，∵，∴，故D正确.故选：C．（2）、（2021·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】∵，，，∴．故选：C.【变式训练3-1】．（2020·全国高一课时练习）设则（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】A【解析】，.故选：A.【变式训练3-2】．（2021·全国高三月考（理））已知，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质借助中间值即可比较【详解】因为，，，又由于，所以.故选：D.、对数函数过定点问题例4.（1）、（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（　　）A．（1，3） B．（﹣，4） C．（﹣1，3） D．（﹣1，4）【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【答案】解：令2x+3＝1，可得 x＝﹣1，此时y＝3．即函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．（2）、（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用真数为可求得定点的坐标.【详解】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.故选：C.【变式训练4-1】．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.【详解】令，得，所以函数且的图像恒过定点，设幂函数为，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，故选：B【变式训练4-2】．（2021·渤海大学附属高级中学）(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.【详解】令，得，即函数的图象恒过点．选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．故选:ABC．(四) 、有关对数函数奇偶性问题例5．（1）、（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　)A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3 D．y＝x|x|【答案】AD【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C（2）、（2021·云南省下关第一中学高二月考）设函数，则关于的不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由函数的奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是，即，，函数为偶函数，又时，，其中在是递减，也递减，因此在是递减，不等式化为，所以，解得或．故选：C．【变式训练5-1】．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.【变式训练5-2】．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.(五) 、有关对数函数定义域问题例6．（1）、函数y＝的定义域为(　　)A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】：选C　根据题意得 解得x>2且x≠3，故选C.（2）、（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数的定义域是__________．【答案】【解析】由题意可得，即，解得且.因此，函数的定义域是.故答案为：.【变式训练6-1】．（2021·北京市陈经纶中学高三开学考试）函数的定义域为_______.【答案】【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来.【详解】解：要使函数有意义，则，，所以，或，解得或，因此，函数的定义域是.故答案为：.【变式训练6-2】．（2021·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据函数的定义域为，转化为，对恒成立求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，对恒成立，当时，解得，不成立，当时，由，解得，综上：实数的取值范围是.故答案为：(六) 、对数型复合函数的单调性问题与最值问题例7．（1）、（2020·丽水外国语实验学校高一月考）已知函数.（1）求函数的定义域及值域；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）定义域为，值域为；（2）增区间为，减区间为.【分析】（1）由题意利用对数函数的性质，求得函数的定义域.（2）由题意利用复合函数的单调性，二次函数､对数函数的性质，求得函数的增区间和减区间.【详解】（1）由函数，可得，求得，可得函数的定义域为.令，故当时，t取得最大值为4，故的最大值为.当t趋于零时，趋于，故函数的值域为.（2）由于二次函数t的图象的对称轴为，定义域为，故函数的增区间，即函数t的增区间为，函数的减区间，即函数t的减区间为.（2）、（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-2，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对数函数的知识列不等式组，由此求得的定义域.（2）对进行分类讨论，求得的最值，由此列方程求得的值.【详解】（1）由得,所以函数的定义域为.（2），设，所以，又，则当时，，值域为当时，，值域为.所以当时，函数有最小值，解得【变式训练7-1】．（2020·全国高一课时练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.【变式训练7-2】．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当时， （2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为例8．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－1101时，y>0；当01时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数