数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时导学案

这是一份数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时导学案，共11页。学案主要包含了对数函数的图象及应用，比较大小等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．
知识点一 对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
思考 对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
答案 底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为________．
答案 －lg32
解析 y＝f(x)＝lg3x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)＝－lg32.
2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．(填序号)
答案 ③
解析 由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．
3．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝lgax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案 增
解析 因为函数y＝ax在R上是增函数，
所以a>1，所以y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数．
4．函数y＝lgax＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
答案 (1,1)
解析 因为对数函数y＝lgax的图象过定点(1,0)，
所以函数y＝lgax＋1的图象过定点(1,1)．
一、对数函数的图象及应用
例1 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
答案 B
解析 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
答案 －2 2
解析 ∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝lga(x＋b)＋c，
得2＝lga(3＋b)＋c.
又当a>0，且a≠1时，lga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
(3)已知f(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))
所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
(教师)
延伸探究
1．在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝lga|x－1|的图象．
解 因为f(x)＝lg5|x|，所以g(x)＝lg5|x－1|，
如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的．
2．在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|lgax|的图象．
解 因为a＝5，所以h(x)＝|lg5x|.h(x)的图象如图所示．
反思感悟 对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
当x>0时，f(x)＝lgax＋1是增函数；
当x<0时，f(x)＝lga(－x)＋1是减函数，
又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.
(2)画出函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．
解 函数y＝|lg2(x＋1)|的图象如图所示．
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞)．
二、比较大小
例2 (1)若a＝lg23，b＝lg32，c＝lg46，则下列结论正确的是( )
A．bC．c答案 D
解析 因为函数y＝lg4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝lg23＝lg49>lg46>1，lg32<1，所以b(2)比较下列各组中两个值的大小：
①lg31.9，lg32；
②lg23，lg0.32；
③lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1)；
④lg50.4，lg60.4.
解 ①因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以lg31.9②因为lg23>lg21＝0，lg0.32所以lg23>lg0.32.
③当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
则有lgaπ>lga3.14；
当0则有lgaπ综上所得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；
当0④在同一直角坐标系中，作出y＝lg5x，y＝lg6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得lg50.4反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
跟踪训练2 比较大小：
(1)lga5.1，lga5.9(a>0，且a≠1)；
(2)lg3π，lg2eq \r(3)，lg3eq \r(2).
解 (1)当a>1时，y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，所以lga5.1当0又5.1<5.9，所以lga5.1>lga5.9.
综上，当a>1时，lga5.1当0lga5.9.
(2)∵lg2eq \r(3)＝eq \f(1,2)lg23，
又1又lg3eq \r(2)＝eq \f(1,2)lg321，
∴lg3π>lg2eq \r(3)>lg3eq \r(2).
1．函数y＝lga(x－1)(0答案 A
解析 ∵0又函数y＝lga(x－1)的图象是由y＝lgax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确．
2．若a＝20.2，b＝lg43.2，c＝lg20.5，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 ∵a＝20.2>1>b＝lg43.2>0>c＝－1，
∴a>b>c.
3．下列式子中成立的是( )
A．lg0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．lg76答案 D
解析 因为y＝lg0.4x为减函数，故lg0.44>lg0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C错，lg76<14．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))，则a＝________.
答案 eq \r(2)
解析 因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))在y＝f(x)的图象上，
所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\r(3,2)))在y＝ax的图象上，则有eq \r(3,2)＝，
所以a2＝2，又因为a>0，a＝eq \r(2).
5．设a>1，函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，则a＝________.
答案 4
解析 ∵a>1，∴f(x)＝lgax在[a,2a]上递增，
∴lga(2a)－lgaa＝eq \f(1,2)，
即lga2＝eq \f(1,2)，∴＝2，∴a＝4.
1．知识清单：
(1)对数函数的图象及性质．
(2)利用对数函数的图象及性质比较大小．
2．方法归纳：图象变换、数形结合法．
3．常见误区：
作对数函数图象易忽视底数a>1与01．函数f(x)＝lgax(0A．0 B．1 C．2 D．a
答案 C
解析 ∵0∴f(x)＝lgax在[a2，a]上单调递减，
∴f(x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.
2．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．2或eq \f(1,2) D．3
答案 B
解析 方法一 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝lgax(a>0，且a≠1)，
故y＝lgax的图象过点(eq \r(a)，a)，则a＝lgaeq \r(a)＝eq \f(1,2).
方法二 ∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，∴函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，eq \r(a))，∴aa＝eq \r(a)＝，即a＝eq \f(1,2).
3．设a＝lg37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．bC．c答案 B
解析 ∵a＝lg37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴04．已知a＝，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 ∵0c＝ >＝1，∴c>a>b.
5．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
答案 B
解析 由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误．
又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确．
6．函数y＝lga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．
答案 (5,2)
解析 令x－4＝1得x＝5，此时y＝lga1＋2＝2，
所以函数y＝lga(x－4)＋2恒过定点(5,2)．
7．函数y＝2＋lg2x(x≥1)的值域为________．
答案 [2，＋∞)
解析 当x≥1时，lg2x≥0，所以y＝2＋lg2x≥2.
8．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 若f(x)，g(x)均为增函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>1，,a>1，))
即1若f(x)，g(x)均为减函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<3－a<1，,0故19．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)lg30.2，lg40.2；
(4)lg3π，lgπ3.
解 (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以lga3.1当0又3.1<5.2，所以lga3.1>lga5.2.
综上所述，当a>1时，lga3.1当0lga5.2.
(3)因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)即lg30.2(4)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，
所以lg3π>lg33＝1.
同理，1＝lgππ>lgπ3，所以lg3π>lgπ3.
10．已知f(x)＝|lg x|，且eq \f(1,c)>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
解 先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由eq \f(1,c)>a>b>1得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)))>f(a)>f(b)，
而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,c)))＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．
∴f(c)>f(a)>f(b)．
11．函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
答案 D
解析 已知函数定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减．
12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2C．x1答案 A
解析 分别作出三个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，x213．已知f(x)＝|lg3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，
由于f(2)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
故结合图象可知02.
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋5a，x<1，,lg7x，x≥1))的值域为R，那么实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)))
解析 要使函数f(x)的值域为R，
则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a>0，,lg71≤1－2a＋5a，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,2)，,a≥－\f(1,3)))所以－eq \f(1,3)≤a15．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
16．若不等式x2－lgmx<0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．
解 由x2－lgmx<0，得x2要使x2∵x＝eq \f(1,2)时，y＝x2＝eq \f(1,4)，
∴只要x＝eq \f(1,2)时，y＝lgmeq \f(1,2)≥eq \f(1,4)＝，
∴eq \f(1,2)≤，即eq \f(1,16)≤m.
又0∴eq \f(1,16)≤m<1.
即实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1)).y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称