2020-2021学年4.3 对数导学案

这是一份2020-2021学年4.3 对数导学案，共8页。

课程标准
(1)了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．(2)会根据函数的增长差异选择函数模型．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 三种常见函数模型的增长差异
助 学 批 注
批注❶ 其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
批注❷ 其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．

基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
(2)对任意的x>0，kx>lgax.( )
(3)对任意的x>0，ax>lgax.( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是 ( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝x10 D．y＝2x
4．下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)
①y＝10×1.05x；
②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg (x＋1)；
④y＝50.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 函数模型的增长差异
例1 [2022·福建三明高一期末]当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝100x B．y＝(e2)x
C．y＝lg2x D．y＝x100
方法归纳
比较函数增长情况的3种方法
巩固训练1 有一组数据如下表：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝lg2t B．v＝lg12t
C．v＝t2-12 D．v＝2t－2
题型 2 函数模型的比较
例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交
于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
方法归纳
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
巩固训练2
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
题型 3 函数模型的选取
例3 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝lgax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
方法归纳
不同函数模型的选取标准
巩固训练3 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
4.4.3 不同函数增长的差异
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
增函数 增函数 增函数 y＝kx(k>0) lgaxkx>lgax
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
答案：A
3．解析：指数函数增长最快．
答案：A
4．答案：①
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为指数函数y＝(e2)x的增长是爆炸式的，虽然底数e2较小，但当x越来越大时，增长速度最快．
答案：B
巩固训练1 解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D.
答案：C
例2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)．
所以1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)所以f(2 022)>g(2 022)>g(8)>f(8)．
巩固训练2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝ln x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
例3 解析：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得2=a+b，5=16a+4b，
解得a=-14，b=94，所以函数的解析式为y＝－14x2＋94x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－14x2＋94x＝－14(x－92)2＋8116，
所以当x＝92时，年人均A饮料的销售量最多，最多是8116 L.
巩固训练3 解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
函数性质
y＝ax(a＞1)❶
y＝lgax(a＞1)❷
y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
________
________
________
图象的
变化
随x的增大
逐渐变“陡”
随x的增大逐
渐趋于稳定
增长速度
不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过________的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有________
增长结果
存在一个x0，当x＞x0时，有________
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01