高中数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时一课一练

4.4　对数函数

第1课时　对数函数的概念、图象及性质

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？

提示：不是，其不符合对数函数的形式．

2．对数函数的图象及性质

思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？

提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．

当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)

A．5　　B.　　C.　　D.

A　[由图可知，a>1，故选A.]

2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．

f(x)＝log2x　[设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]

3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．

(－1，＋∞)　[由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]

对数函数的概念及应用

【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥y＝logx.其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤　　　　 B．②④⑥

C．①③⑤⑥   D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f＝__________.

(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以

解得a＝4.

(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，

∴f＝log2＝－1.]

判断一个函数是对数函数的方法

1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.

2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.

又a>0且a≠1，所以a＝2.]

对数函数的定义域

【例2】　求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；

(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．

[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．

(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．

(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.

求对数型函数的定义域时应遵循的原则

1分母不能为0.

2根指数为偶数时，被开方数非负.

3对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.

2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．

[解]　(1)要使函数有意义，需满足

解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足

解得－1<x<0或0<x<4，

所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．

对数函数的图象问题

[探究问题]

1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？

提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.

2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？

提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．

【例3】　(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

A　　    　B　           　C　             D

(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

[思路点拨]　(1)结合a>1时y＝a－x＝x及y＝logax的图象求解．

(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．

(1)C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]

(2)[解]　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，

∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．

函数图象的变换规律

1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.

1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．

2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．

3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.

1．思考辨析

(1)对数函数的定义域为R.(　　)

(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．(　　)

(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)

(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝2＋log3x

B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且a≠1)

D．y＝ln x

D　[结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]

3．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)

A.　　　 B.

C.   D.

C　[由得

即1≤x<.]

4．已知f(x)＝log3x.

(1)作出这个函数的图象；

(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．

[解]　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．

(2)令f(x)＝f(2)，

即log3x＝log32，解得x＝2.

由图象知：

当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．

所以所求a的取值范围为0<a<2.