人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

4.5.2　用二分法求方程的近似解

课程标准

(1)通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(2)了解二分法求解方程近似解的步骤．(3)进一步加深对函数零点存在定理的理解．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　用二分法求方程的近似解

1．二分法

对于在区间[a，b]上________________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法❶.

2．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤

第一步：确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.

第二步：求区间(a，b)的中点c.

第三步：计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间．

(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；

(3)若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．

助 学 批 注

批注❶　二分法就是通过不断地将所选区间[a，b]一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．(　　)

(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　)

(3)二分法无规律可循．(　　)

(4)只有在求函数的零点时才用二分法．(　　)

2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1    B．x2

C．x3    D．x4

3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2，1]    B．[－1，0]

C．[0，1]    D．[1，2]

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈________(填区间)．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1 二分法的概念

例1　下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　)

方法归纳

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据

函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．

巩固训练1　已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4，4　　    B．3，4

C．5，4　　    D．4，3

题型 2　用二分法求函数零点的近似值

例2　(1)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如下表所示

那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.01)为(　　)

A．0.55　 B．0.57    C．0.65　 D．0.7

(2)用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值时，若第一次所取的区间是[0，m]，则第三次所取的区间可能是________．(只需写出满足条件的一个区间即可)

方法归纳

用二分法求函数零点近似值的关注点

巩固训练2　(1)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是(　　)

A．(1，1.25)    B．(1.25，1.5)

C．(1.5，1.75)    D．(1.75，2)

(2)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝________(精确到0.1)．

4.5.2　用二分法求方程的近似解

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

1．图象连续不断且f(a)f(b)＜0　一分为二　零点

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．

答案：C

3．解析：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f(a)·f(b)<0.

由于本题中函数f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3，f(1)＝6，显然满足f(－2)·f(1)<0，

故函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是[－2，1].

答案：A

4．解析：f()＝()3＋3×－1＝>0，f(0)·f()<0，

所以下一次计算可得x0∈(0，)．

答案：(0，)

题型探究·课堂解透

例1　解析：由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值．

答案：B

巩固训练1　解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.

答案：D

例2　解析：(1)函数f(x)＝x－()x在R上单调递增，

由数表知：f(0.5)<f(0.562 5)<0<f(0.625)<f(0.75)<f(1)，

由零点存在性定义知，函数f(x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f(x)的一个零点的近似值为0.57.

(2)由第一次所取的区间是[0，m]，取该区间的中点，所以第二次所取的区间[0，]或[，m]，

区间[0，]的中点，区间[，m]的中点，

所以第三次所取的区间可能是[0，]或[]或[]或[，m].

答案：(1)B　(2)[0，]或[]或[]或[，m](写一个即可)．

巩固训练2　解析：(1)由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，

又函数f(x)的图象是连续不断的，

根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，

即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，

(2)由题可得f(1.312 5)<0，f(1.343 75)>0，

所以函数零点所在区间(1.312 5，1.343 75)

因为精确到0.1，所以其近似解为1.3.

答案：(1)B　(2)1.3