高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

4.3.2　对数的运算

课程标准

(1)掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．(2)掌握换底公式及其推论．(3)能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　对数的运算性质

若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：

(1)loga(MN)＝__________．

(2)loga＝________．

(3)logaMn＝________(n∈R)．❶

要点二　换底公式

logab＝________(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．❷

由换底公式推导的重要结论：

＝logab.　　＝logab.

(3)logab·logba＝1.    (4)logab·logbc·logcd＝logad.

助 学 批 注

批注❶　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3) ·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．

批注❷　换底公式真神奇，换成新底可任意；原底加底变分母，真数加底变分子．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)log2x2＝2log2x.(　　)

(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　　)

(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　　)

(4)由换底公式可得logab＝.(　　)

2．lg 2＋lg 5＝(　　)

A．－1    B．0    C．1    D．10

3．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log3 2用含a、b的代数式表示为(　　)

A．a－b    B．    C．    D．a＋b

4．已知a＝lg 5，用a表示lg 20＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　对数运算性质的应用

例1　(1)log345－log35；

(2)lg 2－lg ＋3lg 5＋lg 0.1；

(3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18.

方法归纳

利用对数运算性质求值的2种策略

巩固训练1　(1)lg ＋lg 4－()－1＝________．

的值为________．

题型 2　对数换底公式的应用

例2　计算下列各式的值．

(1)(log43＋log83)log32；

(2).

方法归纳

利用换底公式求值的两种思路

巩固训练2　(1)式子log916·log881的值为(　　)

A．18　　 B．    C．　　 D．

(2)(log32＋log92)(log43＋log83)＝________．

题型 3　对数运算性质与换底公式的综合应用

例3　(1)设3a＝4b＝36，求的值；

(2)已知2x＝3y＝5z，且＝1，求x，y，z.

方法归纳

利用对数运算性质与换底公式解题的方法

对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，结合对数的运算性质求解．

巩固训练3　已知2a＝3b＝log264，则＝________．

4．3.2　对数的运算

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM

要点二  

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：由lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.

答案：C

3．解析：由换底公式，log32＝＝.

答案：B

4．解析：因为a＝lg 5，

所以lg 20＝lg ＝lg 100－lg 5＝2－a.

答案：2－a

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2.

(2)lg 2－lg ＋3lg 5＋lg 0.1

＝lg 2＋2lg 2＋3lg 5－1

＝3(lg 2＋lg 5)－1

＝3lg 10－1

＝3×1－1

＝2

(3)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

巩固训练1　解析：(1)lg ＋lg 4－()－1＝lg 10－3＝1－3＝－2.

(2)+ +

＝log636＋＝2＋4＝6.

答案：(1)－2　(2)6

例2　解析：(1)原式＝(＋)log32＝(＋)log32＝＋＝.

(2)原式＝× ＝×

＝(－)log32×log29＝(－)log32×3log23＝－.

巩固训练2　解析：(1)原式＝4＝2log32·log23＝2×＝.

(2)原式＝()·()

＝()·()

＝·＝.

答案：(1)C　(2)

例3　解析：(1)由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＝2log363＋log364＝log3636＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

巩固训练3　解析：因为2a＝3b＝log264＝6，

所以a＝log26，b＝log36，

所以＝＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

答案：1