2021学年4.2 指数函数学案及答案

第2课时　指数函数及其性质的应用

课程标准

(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　比较大小❶

1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；

2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；

3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．

要点二　解指数方程、不等式

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解❷；

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的________求解；

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．

要点三　指数型函数的单调性❸

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________．

助 学 批 注

批注❶　注意区别指数函数与幂函数的比较大小．

批注❷　如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．

批注❸　与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若0.3a>0.3b，则a>b.(　　)

(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)

(3)函数y＝在其定义域上为减函数．(　　)

(4)若am>1，则m>0.(　　)

2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为(　　)

A.  a>b>c      B．a>c>b

C．c>a>b       D．c>b>a

3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是(　　)

A．m>n>0    B．n<m<0

C．m<n<0    D．n>m>0

4．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　利用指数函数的单调性比较大小

例1　若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c    B．b>a>c

C．b>c>a    D．c>b>a

方法归纳

底数与指数都不同的两个数比较大小的策略

巩固训练1　下列选项正确的是(　　)

题型 2　解简单的指数不等式

例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________．

(2)若ax＋1＞(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．

方法归纳

利用指数函数单调性解不等式的步骤

巩固训练2　已知集合M＝{－1，1}，N＝{x<2x＋1<4，x∈Z}，则M＝ (　　)

A．{－1，1}　　    B．{－1}

C．{0}　           D．{－1，0}

题型 3　指数型函数的单调性

例3　求函数f(x)＝()x2－2x的单调区间．

方法归纳

指数型函数单调区间的求解步骤

巩固训练3　函数f(x)＝－1的单调减区间为________.

题型 4　指数函数性质的综合问题

例4　已知函数f(x)＝ex－是定义在R上的奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)用单调性定义证明函数f(x)是R上的增函数；

(3)若函数f(x)满足f(t－3)＋f(2t2)<0，求实数t的取值范围．

方法归纳

有关指数函数性质的综合问题的求解策略

巩固训练4　已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)求f(x)的值域．

第2课时　指数函数及其性质的应用

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

单调性　图象　中间值

要点二

单调性　单调性

要点三

相同　相同　相反

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，

∴b<a，

又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，

∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝()0.2，∴b<a<c.

答案：C

3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；

又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.

答案：A

4．解析：因为f(x)＝2|x|＝，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

题型探究·课堂解透

例1　解析：因为b＝，c＝，函数y＝()x在R上单调递减，

所以，即b>c；

又a＝＝，c＝，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，

所以，即a<c，

所以b>c>a.

答案：C

巩固训练1　解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为)6＝23＝)6＝32＝9，即)6，所以，故D错误．

答案：A

例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．

(2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.

综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，

当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．

答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析

巩固训练2　解析：∵＜2x＋1＜4，

∴2－1＜2x＋1＜22，

∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.

又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，

即N＝{0，－1}，∴M＝{－1}．

答案：B

例3　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上单调递减，

∴y＝单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．

巩固训练3　解析：令t＝x2，

则y＝2t－1为增函数，

当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，

所以f(x)＝－1在x∈(－∞，0)上是减函数．

答案：(－∞，0)

例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，得m＝1；

(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝＝)

，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；

(3)∵f(x)是奇函数，

∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，

又f(x)在R上为增函数，

∴2t2<3－t，解得－<t<1.

巩固训练4　解析：(1)因为f(x)＝，

f(－x)＝＝

由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，

(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，

2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，

整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.

当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．

当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．

因此a＝±1.

(2)当a＝1时，f(x)＝1－，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，

0<<2，因此－1<1－<1，故f(x)的值域为(－1，1)．

当a＝－1时，f(x)＝1＋，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，

于是2x－1>－1，且2x－1≠0，

所以<－2，或>0.

因此1＋<－1或1＋>1，

故f(x)的值域为(－∞，－1)