高中数学4.4 对数函数课后测评

专题27 对数函数的图象和性质（一）

题组1 对数函数的图象

1.已知函数f (x)＝则函数y＝f (1－x)的大致图象是（    ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】先画出函数f (x)＝的草图，

令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，

再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象，

故选：D.

2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于y=x对称

【答案】D

【解析】因为f（x）=10x与函数g（x）=lgx是一对反函数，所以其图象关于y=x对称.

故选D.

3.函数f（x）=ln||的大致图象是（   ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除 ；由,可排除 ，故选D.

4.函数f（x）=log2（x+1）与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（    ）

A.    B.    C.    D.

【答案】B

【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B图象正确

5.已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为(     )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意得，函数为偶函数，

∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，

故只需考虑时的情形即可.

由函数的取值情况可得，当时，函数的取值情况为先负、再正、再负，

所以结合各选项得B满足题意.故选B.

6.设函数，则使成立的的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为函数定义域为R，关于原点对称，

且，

所以函数是偶函数，

又在是增函数，

所以等价于，

所以，

解得，

故选：A

7.函数在的图象大致为（    ）

A.B. C. D.

【答案】C

【解析】函数，

则，所以为奇函数，排除B选项；

当时，，所以排除A选项；

当时，，

排除D选项；

综上可知，C为正确选项，

故选：C.

8.函数的图象大致为（    ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足.

故选：A.

9.函数的大致图象为（    ）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】因为是由向左平移一个单位得到的，

因为，

所以函数为偶函数，图象关于轴对称，

所以的图象关于对称，故可排除A，D选项；

又当或时，，，

所以，故可排除C选项

故选：B.

10.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.

故选：D

11.函数的部分图象大致为（    ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为是偶函数，排除B，当时，，，排除C，

当时，排除D.

故选：A.

12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（  ）

A.4      B.3      C.2      D.1

【答案】A

【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数与时的个数相同，由奇函数可知，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个

13.若x1，x2是方程2x＝的两个实数解，则x1＋x2＝________.

【答案】-1

【解析】

∵2x＝ ，

∴2x＝ ，

∴x＝－1，

∴x2＋x－1＝0.

∴x1＋x2＝－1.

故答案：－1

14.已知函数.

(1)画出函数的草图,并根据草图求出满足的x的集合；

(2)若,且,求证：.

【答案】(1)图见解析，(0，)∪(10，＋∞).(2)证明见解析

【解析】(1)画出函数的草图,如图所示：

令,则,可得或.

故满足的x的集合为.

(2)证明：若,且,则.

当时, 显然成立且.

当,因为则成立

当时, 不成立.

综上所述成立.

15.已知函数，

（1）试证明函数是偶函数；

（2）画出的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分）

（3）请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）

（4）当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；（不必求出方程的解）

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间减区间（4）①当时，方程无实数根；②当或时，方程有两个实数根；③当时，方程有三个实数根；④当时，方程有四个实数根

【解析】（1）的定义域为,且

故为偶函数；

（2）如图

（3）递增区间有：

递减区间有：

（4）根据图象可知，

①当时，方程无实数根；

②当或时，方程有两个实数根；

③当时，方程有三个实数根；

④当时，方程有四个实数根；

16.已知函数f (x)＝xlnx－x.

（1）设g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R.e为自然对数的底数.

①当时，判断函数g(x)零点的个数；

②时，求函数g(x)的最小值.

（2）设0＜m＜n＜1，求证：

【答案】（1）① g(x)有且仅有两个零点.②a－e.（2）证明见解析

【解析】（1）①当时， g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，

g′(x)＝1＋lnx，

当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；

因此g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，

又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，

所以g(x)有且仅有两个零点.

②（i）当a≤时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，

所以g(x)在[，e]上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g()＝－－a.

（ii）当a≥e时，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，

所以g(x)在[，e]上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)＝a－e.

（iii）当＜a＜e时，

若≤x≤a，则g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

若a≤x≤e，则g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

由（i），（ii）知g(x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，

所以此时g(x)的最小值为g(a)＝alna－a，

综上有：当a≤时，g(x)的最小值为－－a；

当＜a＜e时，g(x)的最小值为alna－a；

当a≥e时，g(x)的最小值为a－e.

（2）设h(x)＝，

则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，

又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，

从而有

设φ(x)＝，x＞0

则φ′(x)＝

因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，

因此

即原不等式得证.

17.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).

（1）判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；

（2）当时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a≤e＋＋1.

【解析】（1），

所以切线的斜率，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

由，得，

由△可得，

当△时，即或时，有两个公共点，

当△时，即或时，有一个公共点，

当△时，即时，没有公共点，

（2），

由，得，

令，则，

当，时，由，得，

所以在，上单调递减，在，上单调递增，

因此，

由，，

比较可知，所以，结合函数图象可得，

当时，函数有两个零点.

18.根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题：

(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值.

【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log23，最大值为log227

【解析】（1）由函数的单调性及，即可求出的取值范围；（2）根据定义域为，表示出的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值.

试题解析：函数f(x)＝log2x的图象如图：

(1)因为f(x)＝log2x是增函数，故f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞).

(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，

∴log23≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.

题组2 对数函数的性质

19.已知定义在R上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（    ）

A. B. C. D.2

【答案】C

【解析】由，可知为偶函数，且一条对称轴为，

再由，可得，即函数的周期为2.

根据时，作出函数的草图，如图所示：

方程在上恰好有两个实数根，

函数与的图象在y轴右侧有两个交点，

设与相切时，切点坐标为，

由，得，解得.

由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，

.

故选：C.

20.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（    ）.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】函数，的图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，

则，，，.

，，

则.

令，，，而函数在，单调递增.

所以，则.

故选：D.

21.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（     ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.

22.已知函数，其中.如果函数恰有两个零点，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】当时，，

当时，，

两段均为增函数，函数恰有两个零点，

可得，解得.

故选：D

23.给出下列四个结论：

(1)若集合A={x,y}，B={0，},且A=B ,则x=1,y=0;

(2)若函数f(x)的定义域为（-1,1），则函数f(2x+1)的定义域为（-1，0);

(3)函数的单调减区间是；

(4)若，且，则

其中不正确的有______.

【答案】（3）

【解析】（1）因为A=B，所以，故（1）正确；

（2）因为函数f(x)的定义域为（-1,1），所以，故（2）正确；

（3）函数的单调减区间是和，故（3）错误；

（4）因为，所以，

因此，故（4）正确；

故答案为：（3）

题组3 对数值大小比较

24.已知，，，则、、的大小关系是（    ）.

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，

因此

故选：C.

25.函数（且）在上为增函数，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为且，令，所以函数在上为减函数，

所以函数应是减函数，才可能是增函数，

∴，

因为函数在上为增函数，

由对数函数性质知，即，

综上.

故选：C.

26.设，，，则（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，所以；；；

所以，

故选D.

27.三个数，，的大小顺序是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为，，；

所以.

故选：A.

28.已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】，，，又，即.

因此，.

故选：B.