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必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案
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这是一份必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案，共10页。
课程标准
(1)会用不等式组表示不等关系．(2)能够用作差法比较两个数或式的大小．(3)掌握不等式的有关性质．(4)能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 不等式与不等关系
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号＜、≤❶、＞、≥❷或≠.
(2)所表示的关系是________________．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
要点二 实数大小比较的基本事实
a>b⇔________；a＝b⇔________；a要点三 重要不等式
∀a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
要点四 等式性质与不等式性质的比较
助 学 批 注
批注❶ 不等符号“≤”是指“<”或者“＝”．
批注❷ 不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”．
批注❸ 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
批注❹ 要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的．
批注❺ 同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．( )
(4)若a>b，则1a<1b. ( )
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )
A.v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A. M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么1a2______1b2；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca______cb.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 实数(式)的比较大小
例1 已知a＞0，试比较a与1a的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
巩固训练1 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．
题型 2 利用不等式的性质判断命题的真假
例2 (1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则下述一定正确的是( )
A．ae＞be B．c2＜d2
C．ea-c+ed-b＞0 D．(d－c)e＞ab
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则1a＜1b
D．若a＞b＞0，c＜0则ca＞cb
方法归纳
判断与不等式有关命题真假的3种常用方法
巩固训练2 (1)已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．ab＞b2
C．1a＞1b D．b＞ab
(2)(多选)下列命题正确的是( )
A．ca＜cb且c＞0⇒a＞b
B．a＞b且c＞d⇒ac＞bd
C．a＞b＞0且c＞d＞0⇒ad＞bc
D．ac2＞bc2⇒a＞b
题型 3 利用不等式的性质证明不等式
例3 若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd.
方法归纳
利用不等式的性质证明不等式的策略
巩固训练3 若a＜b＜0，求证：ba＜ab.
题型 4 利用不等式的性质求范围
例4 已知1方法归纳
利用不等式的性质求范围的策略
巩固训练4 已知12．1 等式性质与不等式性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．(2)不等关系
要点二
a－b>0 a－b＝0 a－b<0
要点三
≥ a＝b
要点四
bc a＋c>b＋c ac>bc acb＋d ac>bd
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以M>N.
答案：A
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴1a2＜1b2.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜1a＜1b，
又c＞0，
∴ca＜cb.
答案：(1)＜ (2)＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为a－1a＝a2-1a＝a-1a+1a，a＞0
所以当a＞1时，a-1a+1a＞0，
有a＞1a；
当a＝1时，a-1a+1a＝0，有a＝1a；
当0＜a＜1时，a-1a+1a＜0，
有a＜1a.
综上，当a＞1时，a＞1a；
当a＝1时，a＝1a；
当0＜a＜1时，a＜1a.
巩固训练1 解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：b+ma+m-ba＝ab+am-ab-bmaa+m＝ma-baa+m.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴ma-baa+m＜0，∴b+ma+m＜ba.
答案：(1)C (2)见解析
例2 解析：(1)因为a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
所以ae＜be，c2＞d2，故A，B错误；
－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以1a-c＜1b-d，所以ea-c＞eb-d，
即ea-c+ed-b＞0，故C正确；
对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－12，e＝－1时，
则(d－c)e＝2＝ab，故D错误．
(2)选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；
选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；
选项C：1a-1b＝b-aab，由a＜b＜0，
可知ab＞0，b－a＞0，则b-aab＞0，即1a＞1b.判断错误；
选项D：ca-cb＝cb-aab由a＞b＞0，
可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0则cb-aab＞0，即ca＞cb，判断正确．
答案：(1)C (2)BD
巩固训练2 解析：(1)当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误．
因为a＞b＞0，所以ab＞b2，1b＞1a，ab＞b，B正确，C，D错误．
(2)A，ca＜cbc>0⇒1a＜1b；当a＜0，b＞0时，满足已知条件，但推不出a＞b，∴A错误；B，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，∴B错误；
C，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc＞0⇒ ad＞ bc成立，∴C正确；
D，显然c2＞0，∴两边同乘以c2得a＞b，∴D正确．
答案：(1)B (2)CD
例3 证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得a+bb≤c+dd.
方法二：∵a+bb-c+dd＝ad+bd-bc-bdbd＝ad-bcbd≤0，
∴a+bb≤c+dd.
巩固训练3 证明：由于ba-ab＝b2-a2ab＝b+ab-aab，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴b+ab-aab＜0，故ba＜ab.
例4 解析：∵1∴8<2a＋3b<32.
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故8<2a＋3b<32，－7巩固训练4 解析：∵3∴1－4又14＜1b＜13，∴14＜ab＜63，
即14＜ab＜2.
文字语言
大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
等式的性质
不等式的性质
a＝b⇔b＝a
a>b⇔________
a＝b，b＝c⇒a＝c
a>b，b>c⇒________
a＝b⇔a＋c＝b＋c
a>b⇔________
a＝b⇒ac＝bc
a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________❹
a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d
a>b，c>d⇒________❺
a＝b，c＝d⇒ac＝bd
a>b>0，c>d>0⇒________
a＝b≥0⇒an＝bn
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
课程标准
(1)会用不等式组表示不等关系．(2)能够用作差法比较两个数或式的大小．(3)掌握不等式的有关性质．(4)能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 不等式与不等关系
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号＜、≤❶、＞、≥❷或≠.
(2)所表示的关系是________________．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
要点二 实数大小比较的基本事实
a>b⇔________；a＝b⇔________；a
∀a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
要点四 等式性质与不等式性质的比较
助 学 批 注
批注❶ 不等符号“≤”是指“<”或者“＝”．
批注❷ 不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”．
批注❸ 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
批注❹ 要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的．
批注❺ 同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．( )
(4)若a>b，则1a<1b. ( )
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )
A.v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A. M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么1a2______1b2；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca______cb.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 实数(式)的比较大小
例1 已知a＞0，试比较a与1a的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
巩固训练1 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．
题型 2 利用不等式的性质判断命题的真假
例2 (1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则下述一定正确的是( )
A．ae＞be B．c2＜d2
C．ea-c+ed-b＞0 D．(d－c)e＞ab
(2)(多选)下列命题为真命题的有( )
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则1a＜1b
D．若a＞b＞0，c＜0则ca＞cb
方法归纳
判断与不等式有关命题真假的3种常用方法
巩固训练2 (1)已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．ab＞b2
C．1a＞1b D．b＞ab
(2)(多选)下列命题正确的是( )
A．ca＜cb且c＞0⇒a＞b
B．a＞b且c＞d⇒ac＞bd
C．a＞b＞0且c＞d＞0⇒ad＞bc
D．ac2＞bc2⇒a＞b
题型 3 利用不等式的性质证明不等式
例3 若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd.
方法归纳
利用不等式的性质证明不等式的策略
巩固训练3 若a＜b＜0，求证：ba＜ab.
题型 4 利用不等式的性质求范围
例4 已知1
利用不等式的性质求范围的策略
巩固训练4 已知1
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．(2)不等关系
要点二
a－b>0 a－b＝0 a－b<0
要点三
≥ a＝b
要点四
bc a＋c>b＋c ac>bc ac
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以M>N.
答案：A
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴1a2＜1b2.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜1a＜1b，
又c＞0，
∴ca＜cb.
答案：(1)＜ (2)＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为a－1a＝a2-1a＝a-1a+1a，a＞0
所以当a＞1时，a-1a+1a＞0，
有a＞1a；
当a＝1时，a-1a+1a＝0，有a＝1a；
当0＜a＜1时，a-1a+1a＜0，
有a＜1a.
综上，当a＞1时，a＞1a；
当a＝1时，a＝1a；
当0＜a＜1时，a＜1a.
巩固训练1 解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p
答案：(1)C (2)见解析
例2 解析：(1)因为a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
所以ae＜be，c2＞d2，故A，B错误；
－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以1a-c＜1b-d，所以ea-c＞eb-d，
即ea-c+ed-b＞0，故C正确；
对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－12，e＝－1时，
则(d－c)e＝2＝ab，故D错误．
(2)选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；
选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；
选项C：1a-1b＝b-aab，由a＜b＜0，
可知ab＞0，b－a＞0，则b-aab＞0，即1a＞1b.判断错误；
选项D：ca-cb＝cb-aab由a＞b＞0，
可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0则cb-aab＞0，即ca＞cb，判断正确．
答案：(1)C (2)BD
巩固训练2 解析：(1)当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误．
因为a＞b＞0，所以ab＞b2，1b＞1a，ab＞b，B正确，C，D错误．
(2)A，ca＜cbc>0⇒1a＜1b；当a＜0，b＞0时，满足已知条件，但推不出a＞b，∴A错误；B，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，∴B错误；
C，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc＞0⇒ ad＞ bc成立，∴C正确；
D，显然c2＞0，∴两边同乘以c2得a＞b，∴D正确．
答案：(1)B (2)CD
例3 证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得a+bb≤c+dd.
方法二：∵a+bb-c+dd＝ad+bd-bc-bdbd＝ad-bcbd≤0，
∴a+bb≤c+dd.
巩固训练3 证明：由于ba-ab＝b2-a2ab＝b+ab-aab，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴b+ab-aab＜0，故ba＜ab.
例4 解析：∵1
∵2
即14＜ab＜2.
文字语言
大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
等式的性质
不等式的性质
a＝b⇔b＝a
a>b⇔________
a＝b，b＝c⇒a＝c
a>b，b>c⇒________
a＝b⇔a＋c＝b＋c
a>b⇔________
a＝b⇒ac＝bc
a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________❹
a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d
a>b，c>d⇒________❺
a＝b，c＝d⇒ac＝bd
a>b>0，c>d>0⇒________
a＝b≥0⇒an＝bn
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
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