人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课堂检测

4.4 对数函数

【题组一  对数函数的概念辨析】

1．（2020·全国高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.

故选D   

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)

A．－2 B．2 C． D．－

【答案】B

【解析】函数的图象过点，则故选

3．（2019·北京高二学业考试）如果函数（且）的图象经过点，那么的值为（   ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，

故选：C.

4．（2020·北京市第二中学分校高一课时练习）下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx

【答案】D

【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.

5．（2019·全国高一课时练习）已知对数函数，则______。

【答案】2

【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．

【题组二  单调性（区间）】

1．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，可得函数在单调递减，在单调递增，

又由函数，满足，解得或，

根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.

故选：C.

2．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，故选：A

3．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为

A．（–∞，–1） B．（–3，–1）

C．[–1，+∞） D．[–1，1）

【答案】B

【解析】由，得,

当时，函数单调递增，

函数单调递增；

当时，函数单调递减，

函数单调递减,选B.

4．（2018·山西平城·大同一中高一期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）

A．或 B．

C． D．

【答案】B

【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B．

5．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

因为是上的减函数，所以，

解得，故答案为：

【题组三  定义域和值域】

1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为 .故选：C

2．（2020·宁夏兴庆·银川一中高二期末（文））函数的定义域为(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.

3．（2020·河北石家庄·高二期末）若定义在上的函数的值域为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C，

∴在是单调递减，在上单调递增，，又，

由题意，，且和中至少有一个取到．

即，，此时，

若，则，，

∴的最小值是．

故选：C．

4．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】由题意得，得，解得，

所以函数的定义域为，故答案为：

5.（1）（2019·广东深圳高中高考模拟（文））函数的值域为________.

（2）（2019·河北武邑中学高一期中）若函数.则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）（2）A

【解析】（1）

且   

值域为：

本题正确结果：

（2）因为时，；时，

所以函数的值域是，故选A.

6.（2019·重庆一中高三月考（理））函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

（2）已知函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,2] B.(－∞，2]

C.(0,2] D.[2，＋∞)

【答案】（1)D(2)A

【解析】(1)若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．

当a＝0时符合条件；

当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，

综上知实数a的取值范围是．故选D.

(2)当x≥1时，；

当x＜1时，必须是增函数，

且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足的值域为R，可得，解得a∈(1,2]．

【题组四  比较大小】

1．（2020·沙坪坝·重庆八中高二期末）已知，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,,

而在上单调递增，

，，

，

故选：B

2．（2020·江苏南京）设，，，则（    ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b

【答案】C

【解析】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，

故选：C

3．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由对数函数和指数函数的性质可知，

故选：D．

4．（2020·广西七星·桂林十八中高三月考（理））若 ，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b

【答案】B

【解析】因为，，，所以c＞a＞b．

故选：B．

5．（2020·四川三台中学实验学校高二月考（文））已知，， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,,,故选：D

6．（2020·四川三台中学实验学校高二月考（文））设则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，那么，

所以.

7．（2020·湖南省岳阳县第一中学）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，又，∴，

因为，所以.

故选：B.

【题组五  解不等式】

1．（2020·天水市第一中学）设函数，则使得(1)成立的的取值范围是(    )

A． B．，，

C． D．，，

【答案】B

【解析】根据题意，函数，其定义域为，

有，即函数为偶函数，

当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数，

(1)(1)，解可得或，

即的取值范围为，，；

故选：.

2．（2020·福建安溪·高二期末）已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于函数在上为增函数，

所以，函数在区间上为增函数，

由于函数为上的偶函数，由可得，

，可得，解得.

因此，关于的不等式的解集为.故选：C.

【题组六  定点】

1．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．

【答案】(1，3)

【解析】令，则，所以函数过定点.故答案为：.

2．（2020·新疆克拉玛依市高级中学高一期末）已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ____________.

【答案】（2,4）

【解析】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，

所以定点P的坐标为（2,4）.

故答案为：（2,4）

3．（2020·黑龙江大庆实验中学高二期末）函数且的图象所过定点的坐标是________.

【答案】

【解析】由可令，解得，所以图象所过定点的坐标是

4．函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．

【答案】（-1，1）

【解析】由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1

所以y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（－1，1），

故答案为：（－1，1）.

【题组七  图像】

1．（2020·新疆兵团第二师华山中学）函数与在同一平面直角坐标系下的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，由指数函数的图象知，将函数的图象向左平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项A,C；将函数的图象向上平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项B，故选D．

2．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））且）是增函数，那么函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，

，∴为过点（1，0）的减函数，

∴为过点（1，0）的增函数，

∵图象为图象向左平移1个单位长度，

∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．

3．（2020·内蒙古集宁一中高三期中（文））若函数的图象如图，则函数的图象为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数单调递减可得，

当时，，解得.

可知函数 ，定义域为，值域为，

因为，.

故选：C.

4．（2020·全国）函数的大致图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】取，得到，即函数过点，排除A；

因为为单调增函数，故在，单调递减，排除BC.故选：D

5．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

【答案】A

【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，

由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，

由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，

故选：．

【题组八  对数函数综合运用】

1．（2020·河北邢台·高二期末）已知，函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以， 则解得

不等式的解集为；

（2）由题易知：为增函数，

则在区间上的最大值与最小值分别为．

对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，等价于对于任意恒成立，

即对于任意恒成立．

设，

因为，所以在上单调递增，所以，

令，解得．

综上，m的取值范围为．

2．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））已知．

（1）求的定义域；

（2）证明：在上为单调递增函数；

（3）求在区间上的值域．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1），，，的定义域为，

（2）在上为增函数，在上也为增函数，

根据复合函数的单调性，在上为单调递增函数；

（3）由（2）可知在区间上单调递增，，

，，在区间上的值域为．

3．（2020·武汉外国语学校高一月考）已知函数

（1）若函数的定义域为，求的取值范围；

（2）若函数的值域为，求的取值范围.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）函数的定义域为，对任意的都成立

则，解得

（2）若函数的值域为，则函数的值域包含

则，解得或

4．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.

(1)当时,求；

(2)求解关于的不等式；

(3)若恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】（1）当时，   

（2）由得：

或

当时，解不等式可得：或

当时，解不等式可得：或

综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为

（3）由得：

或

①当时，，

或，解得：

②当时，，

或，解得：

综上所述：的取值范围为

5．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．

【答案】（1）a＝2，定义域为（﹣1,3）；（2）最大值为f（1）＝2，最小值为f（0）＝log23．

【解析】（1）由题意知，，解得﹣1＜x＜3；故f（x）的定义域为（﹣1,3）；

再由f（1）＝2得，loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；故a＝2.

综上所述：函数定义域为，.

（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），∵x[0,]，∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，

故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．