数学人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）学案设计

4.5.3　函数模型的应用

课程标准

(1)在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．(2)能建立函数模型解决实际问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　常用函数模型

助 学 批 注

批注❶　有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．

批注❷　对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，再根据实际问题求解．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(　　)

(2)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　)

(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)

A．y＝2x    B．y＝2x－1

C．y＝2x    D．y＝2x＋1

3．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本(　　)

A．18%    B．20%

C．24%    D．36%

4．已知函数t＝－144lg (1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　指数函数模型

例1　某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y＝kax(k>0，a>1)；另一个是同学乙提出的y＝＋k(p>0，k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0.

(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

方法归纳

指数型函数应用题的解题步骤

巩固训练1　酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒后驾车？(　　)

(参考数据：lg 3≈0.477)

A．6　　 　B．7    C．8　　 　D．9

题型 2　对数函数模型

例2　2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：v＝ωln ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，m0和mk分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完 )时的质量．被称为火箭的质量比．

(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)；

(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．(参考数据：ln 2≈0.69，无理数e＝2.718 28…)

方法归纳

对数函数模型应用题的求解策略

首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．

巩固训练2　进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵．经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log2，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？(lg 2≈0.3)

(2)某条湟鱼想把游速提高1 m/s，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

题型 3　拟合函数模型的应用题

例3　中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1 min测量一次茶水温度，收集到以下数据：

设茶水温度从85 ℃开始，经过t min后温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①y＝kat＋b；②y＝at2＋bt＋c.

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；

(2)若茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)

方法归纳

通过收集数据直接解决问题的一般步骤

巩固训练3　甲地到乙地的距离大约为240 km，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：

①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v；

②Q＝0.5v＋2×10－3；

③Q＝2log2.6v－4.16×10－3.

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

4.5.3　函数模型的应用

新知初探·课前预习

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．

答案：D

3．解析：设平均每年降低成本x，(1－x)2＝1－36%＝0.64，

解得x＝0.2＝20%或x＝1.8＝180%(舍去)．

答案：B

4．解析：当N＝90时，t＝－144lg (1－)＝144.

答案：144

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)因为两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函数．

随着x的增大，y＝kax(k>0，a>1)的函数值增加的越来越快，而y＝＋k(p>0，k>0)的函数值增加的越来越慢．

因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，

所以，甲同学提出的函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．

由题意知，解得，，

所以，y＝·()x

(2)一月底水深植物面积为·()1＝，

由·()x>10×，解得.

又＝1＋＝1＋＝1＋≈1＋≈5.5

故x≥6.

所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．

巩固训练1　解析：设他至少经过t小时才可以驾车，

则0.6×100(1－10%)t＜20，

即3×<1，即t×lg ＜lg ，

所以t＞≈10，

所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选B.

答案：B

例2　解析：(1)∵ω＝2，m0＝160，mk＝40，

∴v＝ωln ＝2×ln ＝2ln 4＝4ln 2≈2.8，

∴该单级火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．

(2)∵≤10，ω＝2，

∴vmax＝ωln ＝2ln 10，

∵e7.9>27.9>27＝128，

∴7.9＝ln e7.9>ln 128>ln 100＝2ln 10，

∴vmax＝2ln 10<7.9.

∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒．

巩固训练2　解析：(1)由题意，游速为v＝log2＝log25＝＝－1)＝－1)≈1.17 m/s.

(2)设原来和现在耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，所以log2log2＝1⇒log2＝2⇒＝4，所以耗氧量的单位数是原来的4倍．

例3　解析：(1)由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①y＝kat＋b：

由前 3 组数据可得，解得，

所以函数模型为y＝60×0.9t＋25.

(2)由题意可知60×0.9t＋25＝55，即0.9t＝0.5，

所以t＝log0.90.5＝＝≈7.5，所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感．

巩固训练3　解析：(1)依题意，所选的函数必须满足两个条件：

定义域为[0，120]，且在区间[0，120]上单调递增．

由于模型③Q＝2log2.6v－4.16×10－3定义域不可能是[0，120].

而模型②Q＝0.5v＋2×10－3在区间[0，120]上是减函数．

因此，最符合实际的模型为①Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v.

(2)设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有y＝Qt.

∵Q＝2.6×10－5v3－4.16×10－3v2＋2.914×10－1v，t＝，

∴y＝Qt＝240(2.6×10－5v2－4.16×10－3v＋2.914×10－1)，

它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为v＝80，且80∈[0，120]，

∴当v＝80时，y有最小值．

由题设表格知，当v＝80时，Q＝10，t＝3，y＝30 L.

∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80 km/h的速度行驶时能使总耗油量最少．