突破4.4 对数函数（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.4 对数函数A组 基础巩固1．（2022·全国高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得真数部分取到所有的正数，即是函数的值域的子集，由即可求解.【详解】因为函数的值域为，可得真数部分取到所有的正数，即函数取到所有的正数，所以是函数的值域的子集，所以解得：或，所以实数的取值范围是：.故选：A.2．（2022·全国高三专题练习）函数y＝的定义域是（ ）A． B． C． D．．【答案】A【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意，所以的定义域为.故选：A3．（2021·全国（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分别缩小的范围，即可得到答案；【详解】因为，所以；因为，所以；因为，所以，所以.故选：.4．（2019·石首市第一中学高二月考）函数f（x）=loga（2x-3）（a＞0，a≠1）的图象过定点（ ）A．（0，） B．（，0）C．（0，2） D．（2，0）【答案】D【分析】令对数的真数等于1，求得、的值，可得它的图象经过的定点坐标．【详解】对于函数，，令，求得，可得它的图象经过定点，故选：．5．（2021·北京交通大学附属中学）函数的定义域是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式函数，分式函数，对数函数的定义域求函数的定义域即可.【详解】方法1：要使函数有意义，则有，即，所以.所以函数的定义域为.方法2：特殊值法当时，无意义，所以排除A，C.当时，，则不能当分母，所以排除D.故选：B.6．（2021·河北）函数的大致图象为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值排除错误选项，进而得出正确答案.【详解】当时，，排除C、D.当时，，排除B.故选:A.7．（2021·林芝市第二高级中学高二期末（文））已知函数，若，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用指数函数和对数函数的性质比较的大小，再利用函数的单调性判断.【详解】因为，所以，又因为函数在上递增，所以，故选：D8．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））函数的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B9．（2021·息县第一高级中学高三月考）函数的定义域是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据次幂的底数不能为，偶次根式被开方数大于，分母不能为，真数位置大于，列不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.故选：C.10．（2021·河北区·天津二中高三月考）已知，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案.【详解】解：，，，根据对数函数的单调性故.故选：B.11．（2021·静宁县第一中学（文））函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性，即可求解.【详解】函数的定义域需满足，解得：，函数分为内外层函数，，，定义域内，内层函数在区间是增函数，在区间是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是.故选：B12．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高二月考）已知，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间量法即可得出结论.【详解】解：因为，，，所以.故选：C.13．（多选题）在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是（ ）A．， B．，C．， D．时，【答案】ABC【分析】根据图象确定的取值范围，结合图像判断CD选项的正确性.【详解】由图象可知，，所以AB选项错误.当时，，所以C选项错误.当时，，所以，所以D选项正确.故选：ABC14．（多选题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用对数函数的单调性得到，然后利用不等式的基本性质判断A；利用特殊值判断B；利用指数函数和幂函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D即可.【详解】因为，所以，所以，故选项A正确；当时，，故选项B错误；又，故选项C错误； 由指数函数和幂函数的单调性得，故选项D正确.故选；AD.15．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．若函数的定义域为，则实数m的取值范围是B．若函数的值域为，则实数C．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是D．若，则不等式的解集为【答案】AC【分析】对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，根据对数不等式的解法求解即可.【详解】对于A，由题意知对恒成立，当时，不等式不恒成立，所以，当时，由解得，所以A正确；对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，则函数的最小值为4，当时，，解得，所以B错误；对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；对于D，若，则不等式等价于，则，解得，所以D不正确．故选：AC【点睛】方法点睛：判断复合函数的单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减．16．（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为【答案】AC【分析】对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发.【详解】对于A，由题意知对恒成立，由于当时，不等式不恒成立，所以．当时，由解得，所以A正确；对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，则函数的最小值为4，则当时，，解得，所以B错误；对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；对于D，若，则不等式等价于，则，解得，所以D不正确．故选：AC．【点睛】方法点睛：判断复合函数的单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减．17．（多选题）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】讨论参数a的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函数性质即可.【详解】若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点， C、D都不可能.故选：BCD.18．（2021·北京海淀区·人大附中高三月考）若函数在区上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】令，根据二次函数和对数函数的单调性，再利用复数函数的单调性计算可得；【详解】解：令，对称轴为，开口向上；因为时，在上单调递减，则在单调递增，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.19．（2022·全国高三专题练习）函数的定义域为______．【答案】【分析】根据函数解析式列不等式组，由此求得的定义域.【详解】依题意，所以的定义域为.故答案为：20．（2021·江西宜春市·上高二中高二月考（文））函数的图象过定点___________；【答案】【分析】由题意结合所给的函数解析式和对数函数的性质可得函数所过的定点.【详解】令可得，当时，，故函数恒过定点故答案为：21．（2021·浙江台州市·天台中学高二开学考试）函数的单调递增区间是________．【答案】【分析】先求得函数的定义域，再结合复合函数的单调性的判定方法和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，解得，又由函数表示开口向下，对称轴的抛物线，当时，函数单调递增，又，所以根据复合函数的单调性的判定方法，得函数的单调递增区间是.故答案为：.22．（2019·陕西镇安中学高一期中）函数的定义域是______．【答案】【分析】根据二次根式有意义条件，结合对数函数定义域及分母要求即可求得定义域．【详解】由二次根式有意义条件及对数函数的定义域及分母要求可知 解得定义域为．故答案为：23．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））已知.（1）时，求方程的根；（2）时，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把作为一个整体（相当于一个未知数）解方程可得；（2）整理不等式，结合指数函数性质得出结论.【详解】（1）方程为，即，又，所以，；（2）由题意不等式为，化简得，，而，所以，，.所以，原不等式解集为．24．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）．【分析】（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）要使有意义，则，解得：．∴的定义域为.（2）为奇函数，证明如下：由（1）知： 且，∴为奇函数，得证．（3）∵在内是增函数，由，∴，解得，∴不等式的解集是.25．（2021·陆良县中枢镇第二中学高一月考）已知函数．（1）若，求实数的值；（2）证明：函数在上上为单调增函数．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由直接求解实数的值；（2）利用单调性的定义证明，取，然后作差化简变形可得结论【详解】解：（1）由，知，得，解得．满足，所以的值为．（2）．设，则．，，，，，．，函数在上是增函数．26．（2021·安徽高一月考）已知函数的图象过点，且为偶函数．（1）求函数的解析式﹔（2）若对任意的不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】由已知得的图象的对称轴方程为，再由二次函数的对称轴和所过的点建立方程组，解之可求得函数解析式；令，则原式可化为在上恒成立，再由函数在上单调性，求得函数的最大值，从而求得实数的最小值．【详解】解：因为为二次函数，且为偶函数，所以的图象的对称轴方程为，又的图象过点，故，解得，所以；令，则，原式可化为在上恒成立，因为函数在上单调递增，所以当时，最大值为．故的取值范围是，所以实数的最小值为．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.27．（2020·广西高一）已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）用换元法把函数化为关于的二次函数，即可求该函数的值域；（2）不等式对于恒成立，即恒成立，再根据单调性可求出的取值范围.【详解】（1）令，，则，函数转化为，，则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，故当时，函数的值域为.（2）由于对于上恒成立，令，，则，即在上恒成立；所以在上恒成立.因为函数在上单调递增，也在上单调递增，所以函数在上单调递增，它的最大值为，故时，对于恒成立.28．（2021·江苏盐城·）已知函数为奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）判定函数在定义域内的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）设，，求实数n的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数是定义域上的单调递减函数，证明见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据函数是奇函数，得到其定义域关于原点对称，先求出，再验证，即可得出结果；（Ⅱ）设，且，为上的任意两个数，作差比较与，根据单调性的定义，即可判断出结果；（Ⅲ）先化，结合指数函数的性质，分别求出两段的值域，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）∵函数是奇函数，∴函数的定义域关于原点对称．又∵函数的定义域为．∴且函数的定义域为∴．此时∴符合题意．（Ⅱ）函数是定义域上的单调递减函数，证明：设，且，为上的任意两个数，则∴又∵∵，∴．又∵，∴，．∴，∴，∴．∴函数时上的单调递减函数．（Ⅲ）∵∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的取值范围为，又∵函数在上单调递减．∴在上的取值范围为，即实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：用定义法判断函数在区间上单调性的一般步骤：（1）取值：任取，且；（2）作差：计算；（3）定号：通过化简整理，得到的正负；（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.B组 能力提升29．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，为增函数，由结合偶函数图象的对称性可知，两边平方并化简得，解得.所以不等式的解集为.故选：A30．（2021·临澧县第一中学）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．是奇函数B．的图象关于点对称C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D．令，若，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为，又因为，所以不是奇函数，所以错误；将的图象向下平移两个单位得到，再向左平移一个单位得到，此时，所以图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以B正确；将函数的图象向左平移一个单位得，因为，即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，则，所以C正确；由，可得，由，设，，可得，所以为减函数，可得函数为减函数，所以函数为单调递减函数，又由为减函数，所以为减函数，因为关于点对称，所以，即，即，解得，所以D正确.故选：BCD.【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.31．（2020·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）若函数的值域为，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意必须取得一切正数，进而结合二次函数的图像和性质即可得到答案.【详解】若函数的值域为，可得取得一切正数，于是.故答案为：.32．（2021·安徽宿州市·宿城一中高三月考（理））函数的单调递增区间是_____.【答案】【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，于是得在是单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故答案为：33．（2021·息县第一高级中学高三月考）已知函数.（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由对数函数的性质可知，分别讨论，，时满足的条件，即可求解；（2）所求问题等价于存在，分离转化为最值问题，利用二次函数的性质求最值即可求解.【详解】（1）因为函数的值域为所以.当时，符合要求；当时，的最大值是，不符合要求；当时，由可得，此时.综上所述，实数的取值范围为因为存在，成立，即在上有解，所以存在，即成立，所以令，，，其对称轴为直线，开口向上，所以在上单调递减，所以，所以，所以，故实数的取值范围为.34．（2021·大名县第一中学高二月考）已知函数.（1）用定义证明：函数在区间]上为减函数，在区间[0，上为增函数；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）为上的偶函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）设，，，且，作差，利用对数的性质化简变形，到能直接判断符号为止，根据函数单调性的定义，即可证得结论函数在区间，上为减函数，同理可证，在区间，上为增函数；（2）利用函数奇偶性的定义，判断与的关系，即可证得答案；（3）欲使对一切实数恒成立，只需，利用对数的运算法则进行化简，最后利用基本不等式求出右侧函数的最大值即可求出实数的取值范围．【详解】解：（1），设，，，且，，，则，，，，，，即，函数在区间，上为减函数，同理可证，函数在区间，上为增函数，故函数在区间，上为减函数，在区间，上为增函数；（2）为上的偶函数.证明：，为上的偶函数.（3），对一切实数恒成立，则不妨令，则，当且仅当时，即时取等号，，即实数的取值范围.35．（2020·贵州遵义·蟠龙高中高一月考）已知函数.（1）求；（2）求函数的定义域；（3）证明函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）；（3）为偶函数，证明见解析.【分析】（1）将，代入解析式求出和的值，计算即可；（2）对数有意义，即真数大于，列出不等式计算即可；（3）函数为偶函数，利用偶函数的定义证明得出结论．【详解】（1）令，则，令，则，所以；（2）由题意可得：，解得，故定义域为；（3）函数为偶函数，因为函数的定义域为关于原点对称，，由偶函数的定义可得函数为偶函数.36．（2021·湖南高一期末）已知函数，其中.（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）若函数的最小值为，求的值.【答案】（1）定义域为，为偶函数；（2）.【分析】（1）根据对数的真数为正数求得的定义域.利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性.（2）由时取得最小值列方程，从而求得的值.【详解】（1）∵且，∴函数的定义域为，，所以为偶函数.（2），（），∵，∴取得最大时取得最小值.时，取得最大值，∴，∴.37．（2020·江苏省西亭高级中学）已知函数，．（1）若在区间上不单调，求的取值范围；（2）设函数，函数．（i）若函数在区间恒有意义，求实数的取值范围；（ii）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）根据的对称轴在区间内列不等式，解不等式求得的取值范围.（2）先求得表达式，（i）将函数在区间恒有意义，转化为“对于任意的实数，不等式恒成立”，进而可以求出结果；（ii）分别求出函数与的值域，由题意可知的值域是的值域的子集，然后得到，解不等式即可求出结果.【详解】（1）因为在区间上不单调，则，解得即的取值范围；（2）（i）函数在区间恒有意义，等价于对于任意的实数，不等式恒成立，（*）所以，即，又在区间上实数必须满足，综上，所求实数的取值范围为（ii）当时，因为所以函数的值域为，所以函数的值域为因为所以函数的值域为对于任意，总存在，使得成立所以所以，解得或，实数的取值范围为.38．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝log2.（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若值域为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意转化为不等式恒成立问题，根据a的正负性分类讨论求解即可；（2）根据对数型函数的值域特点，根据a的正负性结合一元二次方程根的判别式分类讨论即可.【详解】解：（1）要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知解得