高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案及答案

1.5.1　全称量词与存在量词

课程标准

(1)理解全称量词、全称量词命题的定义．(2)理解存在量词、存在量词命题的定义．

(3)会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　全称量词和全称量词命题

要点二　存在量词和存在量词命题

助 学 批 注

批注❶　从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题．

批注❷　从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“一切”、“每一个”、“任意一个”是全称量词. (　　)

(2)有些全称量词命题的全称量词可以省略. (　　)

(3)“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”是存在量词. (　　)

(4)存在量词命题中的存在量词可以省略. (　　)

2．下列命题是全称量词命题的是(　　)

A．有些平行四边形是菱形

B．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数

C．每个三角形的内角和都是180°

D．∃x∈R，x2＋x＋2＝0

3．下列命题中是存在量词命题的是(　　)

A.∀x∈R，x2>0             B．∃x∈R，x2－2≤0

C.平行四边形的对边平行    D.矩形的任一组对边相等

4．命题“有些负数满足不等式1＋x>0”用“∃”写成存在量词命题为________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．

方法归纳

判断一个语句是全称量词命题还是

存在量词命题的一般步骤

巩固训练1　[2022·河北邯郸高一期末](多选)下列命题中为存在量词命题的是(　　)

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

D．∃x∈R，x2＋x≤2

题型 2　全称量词命题和存在量词命题的真假判断

例2　判断下列命题的真假．

(1)∃x∈Z，x3<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

方法归纳

1．全称量词命题真假判断的方法

要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

2．存在量词命题真假判断的方法

要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．

巩固训练2　(多选)下列命题中假命题的是(　　)

A．∀x∈Z，x4≥1

＝3

C．∀x∈R，x2－x－1>0

D．∃x0∈N，|x0|≤0

题型 3　根据含量词命题的真假求参数取值范围

例3　已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

方法归纳

根据含量词命题的真假求参数范围的策略

巩固训练3　已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

1.5.1　全称量词与存在量词

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

所有的　任意一个　一切　任给　全称量词　∀x∈M，p(x)

要点二

存在一个　至少有一个　有些　有的　存在量词　∃x∈M，p(x)

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题．

答案：C

3．解析：易知A错误，B正确；对C，意思为“任意一个平行四边形，它的对边都平行”，错误；对D，意思为“任意一个矩形，它的任一组对边都相等”，错误．

答案：B

4．解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”，

则∃x<0，1＋x>0.

答案：∃x<0，1＋x>0

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．

(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．

巩固训练1　解析：A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题．

答案：ACD

例2　解析：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，

所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

巩固训练2　解析：对于A，取x＝0，可知04<1，即A错误；

对于B，由＝3，可得x0＝±，显然±不是有理数，即B错误；

对于C，因为在一元二次不等式x2－x－1>0中，Δ＝2＋4>0，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取x＝0时，不等式不成立，即C错误；

对于D，当x0＝0时，|x0|≤0成立，即D正确．

答案：ABC

例3　解析：∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．

又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，

∴y＝x2－m的最小值为1－m.

∴1－m≥0.解得m≤1.

∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．

巩固训练3　解析：∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．

又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，

∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.

∴4－m≥0，即m≤4.

∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．